Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Участник:Dominica

399 байт убрано, 23:21, 28 ноября 2016
м
Нет описания правки
Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины <texdpi = "200" > O(1 \mid\mid \log N) sum w_i U_i</tex>{{Утверждение|id=krit_dol3|statement=Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.|proof=[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при любом треугольнике при ребре.Обратно: Рассмотрим треугольник <tex>ABC</tex>, для каждого из ребра можно провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex>ABC</tex> образуется тетраэдр. Если в нем есть точки, то точки есть внутри треугольника, тогда это не углублялись триангуляция <tex>\implies</tex> точек в исследование значения константытетраэдре нет <tex>\implies</tex> плоскостью <tex>ABC</tex> можно отделить пространство с точками <tex>\implies</tex> выполняется глобальный критерий.}}Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.{{Лемма|about=4|id=fliplemmasphere|statement=Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.|proof=}} {{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-align:center |footer = См. [[другая статья|другую статью]] |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> p_i,</tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и стоимось выполнения этой работы <tex>w_i \geqslant 0</tex>.Необходим минимизировать <tex>\sum w_i U_i</tex>.}} ==Решение==Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]]. Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции, получавшейся при правильном соблюдении необходимой ассимптотикиусловии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>. Впоследствии Патерсон выяснил#Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, что соответствующем <tex> OF_j(\log Nt) </tex> можно заменить на , то <tex> c\log_2 N F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex> с константой приблизительно равной , иначе <tex> 6100 F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>. Здесь будет описана более поздняя реализация#Если <tex>t > d_j</tex>, которая включает в себя меньшую константу то <tex>cF_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, а именнопоскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \ldots, будет доказаноj</tex>, законченные позже, что для любого целого числа чем <tex>Nd_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex> , такогобудут выполнены с опозданием. Отсюда,что получим соотношение:<p><tex>N F_j(t) =\left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), & 0 \ge 2^leqslant t \leqslant d_j \\F_j(d_j), & d_j < t < T\end{78array}\right.</tex> существует сортирующая сеть на </p>В качестве начальных условий следует взять <tex>NF_j(t) = \infty </tex> входовпри <tex>t < 0, j = 0, такая\ldots, что n </tex> и <tex>F_0(t) = 0 </tex> при глубина в худшем случае <tex>t \geqslant 0 </tex>. Ответом на задачу будет <tex>1830 F_n(d_n)</tex>. Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>F_j(t)</tex> для <tex>j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>t = 0,\log_2 N - 58657 ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{max}</tex>обозначим самое большое из времен выполнения заданий.
Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex>Md_i</tex> входов, такие ,что <tex>Mt_1</tex> относительно мало. Мы назовем их = <tex>Mr_1</tex> '''for''' <tex>t = -сортировщиками. Для любых выбранных положительных целых чисел p_{max}</tex> '''to''' <tex>M-1</tex> и '''for''' <tex>Nj = 0</tex> таких что '''to''' <tex>n</tex> N F_j(t) = \ge Minfty '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex> F_0(t) = 0 '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex>, конструкция будет включать в себя '''for''' <tex>Nt = 0</tex> проводов, и будет сделана из '''to''' <tex>Md_j</tex>-сортировщиков, глубина которых в худшем случае '''if''' <tex>F_{j-1}(48 t) + оw_j < F_{j-1}(1t-p_j))\log_MN + 115</tex> при <tex>M \to \infF_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>.(Стоит отметить, что асимптотическое '''else''' <tex>o F_j(t) = F_{j-1}(t-p_j)</tex> здесь относится к '''for''' <tex>Mt = d_j + 1</tex>, а не к '''to''' <tex>NT</tex> <tex> F_j(t).= F_{j}(d_j) </tex>
Время работы данного алгоритма {{---}} <tex>O(n \sum\limits_{i== Представление в виде дерева и разделители ==1}^n p_i)</tex>.
Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сетиДля того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием.Это может быть сделано следующим способом: t = d_n L = \varnothing '''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex> <tex>t = \min(t, d_j)</tex> '''if''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex> <tex> L = L \cup \{j\} </tex> </tex> '''else''' <tex> t = t - p_j </tex>
==Доказательство корректности и оптимальности== {{ОпределениеЛемма|definitionid=lemma1'''Идеальным разделителем''' будем называть сеть|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размераi_n </tex>, такихтакое, что принимая на вход любые <tex>ai_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> значений{{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, сеть размещает первые а <tex>ai_{s+1}, \ldots, i_n </ktex> {{---}} номера просроченных работ.|proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>S</tex> минимальные по величине . Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. #Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится ключи в первый блок<tex>S</tex> с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>S</tex>, следующие при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции. #Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в расписании <tex>aS</ktex> выполняются вовремя, но при этом <tex>d_i < d_j </tex> по величине ключи – во второй, но <tex>j</tex> стоит в <tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Тогда переставим работу с номером <tex>j</tex> так, чтобы она выполнялась после работы <tex>i</tex>. Таким образом, каждая из работ, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и т<tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex>, как оптимального решения.д#*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex> тоже будет успевать выполниться.
}}
Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на <tex>N</tex> входов, где <tex>N = k^d</tex> для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей <tex>N_0, N_1, N_2 \dots N_{d-1}</tex>, где <tex>N_t</tex> – парраллельная композиция <tex>k^t</tex> идеальных разделителей одинакового размера. <tex>k^{d - t}</tex> Выходных проводов уровня <tex>N_t</tex> разделены на <tex>k</tex> блоков одинакового размерв и каждый из этих блоков формирует вход для идеального разделителя из N_{t+1}.
Можно рассмотреть другую интерпретацию этой конструкции. k^d входных данных мы будем рассматривать как листья полного k-ичного дерева глубины d; каждый модуль(разделитель) из N_t будем считать узлом, находящимся на высоте t в нашем дереве. Будем считать, что в каждый момент времени t = 0, 1, 2, ... в - 1 входные провода распределены по всему уровню t нашего дерева. В то же время, каждый узел х на t уровне принимает k^{d - t} проводов и эти провода затем используются как вход для идеального разделителя который разбивает их на k блоков одинакового размера в промежуток времени между t и t + 1. Выходные провода из j получившегося блока идут в j ребенка вершины x. К моменту времени d каждый лист дерева содершит в себе только один провод, а этот провод содержит в себе значение, которое и приписывается к листу.
 
К сожалению, эта схема описывает сортирующую сеть глубины <tex>\Omega((\log_k N)(\log_m N)) </tex>: каждый идеальный разделитель на а проводов, если его делать из М-разделителей, должен иметь глубину более чем <tex>\log_M(\dfrac{k-1}{k}a). (Чтобы осознать это, заметим, что для каждого выхода y должно быть более чем <tex>\dfrac{k -1}{k}a</tex> входов x , таких, что ключ мог бы дойти от x до y). К счастью, схему можно переделать так, чтобы она описывала сортирующую сеть глубины <tex>O(\log_M N)</tex> : идеальные разделители можно заменить на более слабые модули константной глубины,чья слабость будет компенсироваться более сложным перемещением ключей через дерево.
Слабые модули мы назовем сепараторами==См. У каждого такого сепаратора есть а выходных проводов, которые делятся на блоки также ==* [[Классификация задач]]* [[1ripipsumwu|<tex> F_1, B_1, B_21 \mid r_i, p_i=p \mid \dots, B_k, F_2 sum w_i U_i</tex> так, что ]]* [[1pi1sumwu|<tex> |F_1| 1 \mid p_{i} = |F_2|1 \mid \sum w_{i}U_{i}</tex> ]]* [[R2Cmax|<tex> |B_1| = |B_2| = R2 \mid \dots = |B_k| mid C_{max}</tex>;]]
Как правило, "обрамляющие блоки" <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> гораздо меньше всех остальных. В каком-то смысле, можно сказать, что сепаратор аппроксимирует идеальный разделитель. Тогда будем измерять точность аппроксимации величинами <tex> \delta_F, \varepsilon_F </tex> и <tex>\varepsilon_B</tex>. Сортирующая сеть, с такими же выходными проводами как и наш сепаратор, принимая на вход I, состоящее из a отдельных проводов, распределяет соответствующие <tex>I_j</tex> в выходные блоки <tex>B_j</tex>. Сераратор же распределяет вход <tex>I</tex> таким образом, что 1) для каждого <tex> j = 1, 2, \dots, k, </tex> не более <tex>\varepsilon_B a</tex> ключей из <tex>I_j</tex> не попадут в <tex>B_j</tex>.2)для каждого целого j такого, что <tex>1\le j\le \delta_F|F_i|</tex>не более <tex>\varepsilon_F j</tex> из <tex>j</tex> самых маленьких чисел могут не попасть в <tex>F_1</tex> и не более <tex>\varepsilon_F j</tex> из <tex>j</tex> самых больших чисел могут не попасть в <tex>F_2</tex>= Источники информации ==Что касается перемещения значений в дереве, то в момент времени <tex>t = 0</tex> все <tex>k^d</tex> проводов входят в корень* P. Между временами <tex> t</tex> и <tex>t + 1</tex> каждый узел <tex>x</tex>, в который входят какие-нибудь провода, использует эти а проводов как вход для сепаратора, с разумно выбранным размером для выходных блоков. Провода из каждого выходного блока <tex>B_j</tex> посывлаются в <tex>j</tex>того сына узла <tex>x</tex>а провода попавшие в <tex>F_1</tex> или <tex>F_2/tex> посылаются обратно к родителю <tex>x</tex>Brucker. Scheduling Algorithms (Если <tex>x</tex>. - корень, то <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> должны быть пустыми. Так как <tex>F_1</tex> и <tex>F_2/tex> сравнительно маленькие, то большинство значений провалится ниже к листам дерева; так как сепаратор не идеальный, то некоторые ключи могут быть посланы вниз в неправильном направлениии. Свойство 12006) гарантирует, что очень малое количество собъется с пути5th edition, а свойство 2) гарантирует, что большинство из этих ключей вернутся назад и смогут исправить свое положение позжестр.26 - 28
264
правки

Навигация