Изменения

Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины <texdpi = "200" > O(1 \log N) mid\mid \sum w_i U_i</tex>{{Утверждение|id=krit_dol3|statement=Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.|proof=[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся любом треугольнике при правильном соблюдении необходимой ассимптотикиребре. Впоследствии Патерсон выяснил, что Обратно: Рассмотрим треугольник <tex> O(\log N) ABC</tex> , для каждого из ребра можно заменить на провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex> c\log_2 N </tex> с константой приблизительно равной <tex> 6100 ABC</tex>образуется тетраэдр. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает Если в себя меньшую константу <tex>c</tex>нем есть точки, а именното точки есть внутри треугольника, будет доказано, что для любого целого числа тогда это не триангуляция <tex>N\implies</tex> такого,что точек в тетраэдре нет <tex>N \ge 2^{78}implies</tex> существует сортирующая сеть на плоскостью <tex>NABC</tex> входов, такая, что глубина в худшем случае будет можно отделить пространство с точками <tex>1830 \log_2 N - 58657 implies</tex>выполняется глобальный критерий.}}Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.{{Лемма|about=4|id=fliplemmasphere|statement=Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.|proof=}}

Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на <tex>M</tex> входов, такие ,что <tex>M</tex> относительно мало. Мы назовем их <tex>M</tex>{{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-сортировщикамиalign:center |footer = См. [[другая статья|другую статью]] Для любых выбранных положительных целых чисел <tex>M</tex> |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>Nn</tex> таких что работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> N \ge Mp_i,</tex>, конструкция будет включать в себя дедлаин <tex>Nd_i</tex> проводов, и будет сделана из <tex>M</tex>-сортировщиков, глубина которых в худшем случае стоимось выполнения этой работы <tex>(48 + о(1))w_i \log_MN + 115</tex> при <tex>M \to \infgeqslant 0</tex>.(Стоит отметить, что асимптотическое Необходим минимизировать <tex>o(1)</tex> здесь относится к <tex>M</tex>, а не к <tex>N</tex>). == Представление в виде дерева и разделители == Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети. {{Определение|definition='''Идеальным разделителем''' будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые <tex>a\sum w_i U_i</tex> значений, сеть размещает первые <tex>a/k</tex> минимальные по величине ключи в первый блок, следующие <tex>a/k</tex> по величине ключи – во второй, и т.д.

К сожалению, эта схема описывает сортирующую сеть глубины <tex>\Omega((\log_k N)(\log_m N)) </tex>: каждый идеальный разделитель на а проводов, если его делать из М-разделителей, должен иметь глубину более чем <tex>\log_M(\dfrac{k-1}{k}a). (Чтобы осознать это, заметим, что ==Решение==Применим для каждого выхода y должно быть более чем <tex>\dfrac{k -1}{k}a</tex> входов x , таких, что ключ мог бы дойти от x до y). К счастью, схему можно переделать так, чтобы она описывала сортирующую сеть глубины <tex>O(\log_M N)</tex> : идеальные разделители можно заменить на более слабые модули константной глубины,чья слабость будет компенсироваться более сложным перемещением ключей через дереворешения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].

Слабые модули мы назовем сепараторамиОбозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>. У каждого такого сепаратора есть а выходных проводовДля всех <tex>t = 0, 1, \ldots, которые делятся на блоки T </tex> и <tex> F_1j = 1, B_1\ldots, B_2n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.#Если <tex>0 \dotsleqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, B_kсоответствующем <tex>F_j(t)</tex>, F_2 то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex> так, что иначе <tex> |F_1| F_j(t) = |F_2|F_{j- 1}(t) + w_i</tex>.#Если <tex>t > d_j</tex> , то <tex> |B_1| F_j(t) = |B_2| F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \dots = |B_k| ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>;, будут выполнены с опозданием.

Как правилоОтсюда, "обрамляющие блоки" <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> гораздо меньше всех остальных. В каком-то смысле, можно сказать, что сепаратор аппроксимирует идеальный разделитель. Тогда будем измерять точность аппроксимации величинами <tex> \delta_F, \varepsilon_F </tex> и <tex>\varepsilon_B</tex>. Сортирующая сеть, с такими же выходными проводами как и наш сепаратор, принимая на вход I, состоящее из a отдельных проводов, распределяет соответствующие <tex>I_j</tex> в выходные блоки <tex>B_j</tex>. Сераратор же распределяет вход <tex>I</tex> таким образом, что 1) для каждого <tex> j = 1, 2, \dots, k, </tex> не более <tex>\varepsilon_B aполучим соотношение:</texp> ключей из <tex>I_j</tex> не попадут в <tex>B_j</tex>.2)для каждого целого j такого, что <tex>1\le j\le \delta_F|F_i|</tex>не более <tex>\varepsilon_F j</tex> из <tex>j</tex> самых маленьких чисел могут не попасть в <tex>F_1</tex> и не более <tex>\varepsilon_F j</tex> из <tex>j</tex> самых больших чисел могут не попасть в <tex>F_2</tex>Что касается перемещения значений в дереве, то в момент времени <tex>F_j(t = 0</tex> все <tex>k^d</tex> проводов входят в корень. Между временами <tex> t</tex> и <tex>t + 1</tex> каждый узел <tex>x</tex>, в который входят какие-нибудь провода, использует эти а проводов как вход для сепаратора, с разумно выбранным размером для выходных блоков. Провода из каждого выходного блока <tex>B_j</tex> посывлаются в <tex>j</tex>того сына узла <tex>x</tex>а провода попавшие в <tex>F_1</tex> или <tex>F_2/tex> посылаются обратно к родителю <tex>x</tex>. (Если <tex>x</tex>. - корень, то <tex>F_1</tex> и <tex>F_2</tex> должны быть пустыми. Так как <tex>F_1</tex> и <tex>F_2/tex> сравнительно маленькие, то большинство значений провалится ниже к листам дерева; так как сепаратор не идеальный, то некоторые ключи могут быть посланы вниз в неправильном направлениии. Свойство 1) гарантирует, что очень малое количество собъется с пути, а свойство 2) гарантирует, что большинство из этих ключей вернутся назад и смогут исправить свое положение позже.== Конструкция сети == <tex>\alpha^*(t) = left \dfrac{t\log \dfracbegin{1array}{\null} - \log N + \logmin(2A\nu k^3)}F_{\log Aj-1}</tex> <tex>\omega^*(t-p_j) = \dfrac{t\log \dfrac, F_{j-1}{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Ak}</tex> <tex>\alpha(t) \ge \alpha^*(t+ w_j),\quad & 0 \alpha(t)\equiv leqslant t\mod 2 </tex>  <tex>\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad leqslant d_j \omega(t)\equiv t\mod 2 </tex>  <tex> OF_j(\log N) </tex> <tex> c\log_2 N </tex>   <tex> \pi(\alpha(td_j),t) =\begin{cases}0,&\text{если $\alpha( d_j < t + 1)>\alpha(t)$,}\\< T\dfrac{\nu}end{AKarray}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$right.}\end{cases}

отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex> d_i</tex> <tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex> '''for''' <tex>t = -p_{max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex> '''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex> F_j(t) = \piinfty '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex> F_0(i,t) = \dfrac0 '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex> '''if''' <tex> F_{j-1}(t) + w_j < F_{A\nu k j- 1}(t-p_j) </tex> <tex> F_j(t) = F_{A^2k^2j-1}c(i,t),\qquad\quad + w_j </tex> '''else''' <tex> \textF_j(t) = F_{если $\alphaj-1}(t-p_j) < i /tex> '''for''' < \omegatex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex> <tex> F_j(t)$,= F_{j}(d_j) </tex>

<tex> \pi(\omega(t),t) =\begin{cases}\dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(\omega(t),t),&\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\\alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}\end{cases}</tex>=Доказательство корректности и оптимальности==

<tex> \chi(\alpha(t),t) =\begin{cases}\dfrac{1}{k}c(\alpha(t),t),&\text{ $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$,}\\\dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(\alpha(t),t),&\text{если $\alpha(t + 1)<\alpha(t)$,}\end{cases}</tex>   <tex> \chi(i,t) = \dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) < i < \omega(t)$,}</tex>   <tex> \pi(\omega(t),t) Источники информации =\begin{cases}\alpha(\omega(t + 1), t + 1)), &\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$,}\\0,&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t)$,}\end{cases}</tex> <tex>\pi(i, t)</tex> <tex>\chi(i, t)</tex> <tex>\alpha(t + 1) < \alpha(t)</tex> <tex>c(\alpha(t), t) = (A/\nu)c(\alpha(t + 1), t + 1) \ge 2Ak^2/\nu</tex> лемма 3* P. Brucker.1 Если <tex>\alpha(i, t) \neq 0</tex> тогда  <tex> \sum\limits^d_{j=0} k^{j-i}a(j, t) =\begin{cases}Nk^{-i}, &\text{ $i = \alpha(t)$,}\\Nk^{-i} - \dfrac{c(i,t)}{A^2k^2}, &\text{ $i > \alpha(t)$,}\end{cases}</tex>  <tex>\sum\limits^d_{j=0} k^ja(j, t) = N </tex>  <tex> i = \alpha(t) </tex>  <tex> aScheduling Algorithms (j,t2006) =\begin{cases}0, &\text{ $j \not\equiv i \mod 2$,}\\c(j5th edition, t), &\text{ $j = \alpha(t)$,}\\(1 - \dfrac{1}{A^2k^2})c(j, t) &\text{ $\alpha(t) < j < i, \quad j \equiv i \mod 2$}\end{cases}</tex>  <tex> c(j, t) = c(i, t)A^{j-i}</tex> когда <tex>i\ge\alpha(t)+2</tex>  лемма 3стр.2 Если <tex>\alpha(t + 1) > \alpha(t) </tex> тогда <tex>\alpha(t) = 0</tex> или <tex>c(\alpha(t),t)\le Ak^2/\nu</tex> <tex>\alpha(t+1) > \alpha(t) > 0</tex>  <tex>\alpha(t) 26 - 1 < \alpha^*(t + 1) </tex> <tex>c(\alpha(t),t) < 2Ak^2/\nu</tex>28