Изменения

Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины <texdpi = "200" > O(1 \log N) mid\mid \sum w_i U_i</tex>{{Утверждение|id=krit_dol3|statement=Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.|proof=[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся любом треугольнике при правильном соблюдении необходимой ассимптотикиребре. Впоследствии Патерсон выяснил, что Обратно: Рассмотрим треугольник <tex> O(\log N) ABC</tex> , для каждого из ребра можно заменить на провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex> c\log_2 N </tex> с константой приблизительно равной <tex> 6100 ABC</tex>образуется тетраэдр. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает Если в себя меньшую константу <tex>c</tex>нем есть точки, а именното точки есть внутри треугольника, будет доказано, что для любого целого числа тогда это не триангуляция <tex>N\implies</tex> такого,что точек в тетраэдре нет <tex>N \ge 2^{78}implies</tex> существует сортирующая сеть на плоскостью <tex>NABC</tex> входов, такая, что глубина в худшем случае будет можно отделить пространство с точками <tex>1830 \log_2 N - 58657 implies</tex>выполняется глобальный критерий.}}Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.{{Лемма|about=4|id=fliplemmasphere|statement=Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.|proof=}}

Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на <tex>M</tex> входов, такие ,что <tex>M</tex> относительно мало. Мы назовем их <tex>M</tex>{{nohate2}}{{wasted}}{{под кат|title = Заголовок блока |content = Содержимое |frame-style = border:1px solid Plum |title-style = color:black;background-color:lavender;font-weight:bold |content-style = color:black;background-color:ghostwhite;text-сортировщикамиalign:center |footer = См. [[другая статья|другую статью]] Для любых выбранных положительных целых чисел <tex>M</tex> |footer-style = background-color:lightgray;text-align:right}}{{Задача|definition= Есть один станок и <tex>Nn</tex> таких что работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> N \ge Mp_i,</tex>, конструкция будет включать в себя дедлаин <tex>Nd_i</tex> проводов, и будет сделана из <tex>M</tex>-сортировщиков, глубина которых в худшем случае стоимось выполнения этой работы <tex>(48 + о(1))w_i \log_MN + 115</tex> при <tex>M \to \infgeqslant 0</tex>.(Стоит отметить, что асимптотическое Необходим минимизировать <tex>o(1)</tex> здесь относится к <tex>M</tex>, а не к <tex>N</tex>). == Представление в виде дерева и разделители == Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети. {{Определение|definition='''Идеальным разделителем''' будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые <tex>a\sum w_i U_i</tex> значений, сеть размещает первые <tex>a/k</tex> минимальные по величине ключи в первый блок, следующие <tex>a/k</tex> по величине ключи – во второй, и т.д.

Обозначим <tex>T = \alphasum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t) </tex> {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.#Если <tex>0 \ge leqslant t \alpha^*leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>.#Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t)= F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1,\quad ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \alpha (t)geqslant \equiv tldots \mod 2 geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.

Пускай <tex>\omega(t)</tex> будет наименьшим челым числомОтсюда, таким чтополучим соотношение: <tex>\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad \omega (t)\equiv t\mod 2 </texp> Поскольку <tex>A\nu \ge 1 </tex> получаем, что <tex>\alpha^*(t + 1) \le \alpha^* (t) + 1, \omega^*(t + 1) \le \omega^* (t) </tex> для любого <tex>t</tex> и поэтому  <tex> |\alphaF_j(t + 1) - \alpha(t) | = 1, \quad |\omega(t + 1) - \omega(t)| = 1 </tex> для любого <tex>t</tex>.Нижнее значение может уменьшаться и увеличиваться, но в среднем оно спадает со скоростью <tex>\logleft \dfrac{1}{\nu} </tex> уровней на каждые <tex> \log(Ak) </tex> итераций. Верхнее же значение первые <tex>\log N/\log\dfracbegin{1array}{\nu} </tex> итераций колеблется между значениями 0 и 1 ,а дальше начинает так же уменьщаться со скоростью <tex>\log\dfrac{1}{\nu}</tex> уровней на каждые <tex>\log(A)</tex> итераций. Обозначим за <tex>t_f </tex> время, когда верхнее и нижнее значения совпадут: <tex>t_f </tex> - это наибольшее целое положтельное число такое, что:<tex> \alpha(t) < \omega(t)</tex> <tex> 1 < t < t_f </tex>Также<tex> \alpha(t_f) = omega(t_f) </tex> (Это будет понятно из дальнейшего изложения. Так же будет проверено, что общее значение <tex> \alpha(t_f)</tex> и <tex>omega(t_f) </tex> меньше, чем <tex>d</tex>) <tex> c(i, t) = \dfrac{N}{A\nu k} A^i\nu ^i </tex>Значение <tex> c(i, t) </tex> можно рассматривать как вместимость узла на <tex> i </tex> уровне во время <tex> t </tex>: для любого <tex> t</tex>, такого, что <tex> 1 < t < t_f </tex> имеем<tex> \dfrac{a(\alpha(t), t)}{c(\alpha(t), t)ll} = 1 </tex>, <tex> \dfrac{amin(i, t)}F_{c(i, t)} = 1 j- \dfrac{1}{A^2 k^2} </tex> где <tex> \alpha(t) < i < \omega(t) </tex>и <tex> i \equiv t \mod 2 </tex> <tex> a(\omega(t),t) = Nk ^{-\omega(t)} - dfrac{c(\omega(tp_j), t)}{A^2k^2}</tex>(Если <tex> i \not\equiv t \mod 2</tex> тогда<tex> a(i, t) = 0 </tex>) Начиная с <tex> N k ^F_{j-\omega(t)1} \le c(\omega(t), t) < A^2k^2Nk^{-\omega(t)}+ w_j), </tex>имеем <tex> & 0 < \dfrac{a(\omega(leqslant t), t)}{c(\omega(t), t)} leqslant d_j \le 1 - \dfrac{1}{A^2k^2} </tex> Начиная с <tex>c(\alphaF_j(td_j), t) \ge 2k^2 /tex> мы имеем & d_j <tex>c(i, t) \ge 2A^2k^2 </tex> когда <tex>i\ge \alpha(t) + 2 </tex>. Это следует из того, что все<tex> a(i, t) </tex> целые.TЧтобы как-то перераспределить провода между временами <tex>t</tex> и <tex>t + 1 </tex> каждый узел на уровне i посылает <tex>\pi(i, t) </tex> значений своим родителям и <tex>\chi(i, t) </tex> значений каждому из своих <tex>k</tex> детей. Если <tex>2 \le t < t_f </tex>, то  <tex> \pi(\alpha(t),t) =\begin{cases}0,&\text{если $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$,}\\\dfracend{\nuarray}{AK}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$right.}\end{cases}

отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex> d_i</tex> <tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex> '''for''' <tex>t = -p_{max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex> '''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex> F_j(t) = \piinfty '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex> F_0(i,t) = \dfrac0 '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex> '''if''' <tex> F_{A\nu k j- 1}(t) + w_j < F_{A^2k^2j-1}c(i,t-p_j),\qquad\quad \text</tex> <tex> F_j(t) = F_{если $\alphaj-1}(t) + w_j < i /tex> '''else''' < \omegatex> F_j(t)$,= F_{j-1}(t-p_j) </tex> '''for''' <tex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex>  <tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex>

<tex> \pi(\omega(t),t) =\beginВремя работы данного алгоритма {cases}\dfrac{A\nu k - 1--}{A^2k^2}c<tex>O(n \omega(t),t),&sum\textlimits_{ $\omega(t + i=1)>\omega(t)$,}\\\alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)<\omega(t^n p_i)$,}\end{cases}</tex>.

<tex> \chi(\alpha(t),t) =\begin{cases}\dfrac{1}{k}c(\alpha(t),t),&\text{ $\alpha(t + 1)>\alpha(t)$,}\\Лемма\dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(\alpha(t),t),&\text{если $\alpha(t + 1)<\alpha(t)$,}\end{cases}|id=lemma1|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов </tex>   <tex> \chi(i,t) = \dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) < i < \omega(t)$,}d_i</tex>.   Тогда существует оптимальное расписание вида <tex> \pi(\omega(t)i_1,t) =\begin{cases}\alpha(\omega(t + 1)i_2, t + 1)), &\text{ $\omega(t + 1)>\omega(t)$ldots,}\\0i_s,&\texti_{если $\omega(t s+ 1)<\omega(t)$,}\end{cases}</tex> Отметим, что для все <tex>\pi(ildots, t)i_n </tex> и <tex>\chi(i, t)</tex> целые: в частности, если <tex>\alpha(t + 1) < \alpha(t)</tex>, то<tex>c(\alpha(t), t) = (A/\nu)c(\alpha(t + 1), t + 1) \ge 2Ak^2/\nu</tex> Если сепараторы, используемые для построения сети достаточно хорошие, то(мы проверим чуто позже) существует такое целое число <tex>\gamma </tex>, не превосходящее <tex>\alpha(t_f) </tex>, но при этом отличающееся от что <tex>\alpha(t_f) </tex>не более чем на константу, не зависящую от i_1 <tex>Ni_2 </tex>, такое, что для любого узла <tex>x</tex>, находящегося на уровне <tex>\gamma </tex>, все ключи, являющиеся потомками узла ldots <tex>xi_s </tex> в момент времени <tex>t_f</tex> адресуются толко к ключам, являющимся потомками <tex>x</tex>. Следовательно, построеная сеть может быть дополнена до сортирующей единственным слоем из параллельных сортирующих сетей, каждая из которых будет содержать <tex>k^{d - \gamma} </tex> входных проводов.  Далее мы будем использовать следующие утверждения  Лемма 3.1 Если <tex>\alpha(i, t) \neq 0</tex> тогда  <tex> \sum\limits^d_{j=0} k^{j-i}a(j, t) =\begin{cases}Nk^{-i}, &\text{ $i = \alpha(t)$,}\\Nk^{-i} - \dfrac{c(i,t)}{A^2k^2}номера работ, &\text{ $i > \alpha(t)$которые успеют выполниться вовремя,}\end{cases}а </tex>  ДоказательствоЭто утверждение следует из того<tex>\sum\limits^d_i_{j=0s+1} k^ja(j, t) = N </tex> Непосредственно\ldots, когда <tex> i = \alpha(t) i_n </tex> и подставляется  <tex> a(j,t) =\begin{cases}0, &\text{ $j \not\equiv i \mod 2$,}\\c(j, t), &\text{ $j = \alpha(t)$,}\\(1 - \dfrac{1--}{A^2k^2})c(j, t) &\text{ $\alpha(t) < j < i, \quad j \equiv i \mod 2$}\end{cases}</tex>номера просроченных работ. где <tex> c(j, t) |proof= c(i, t)A^{j-i}</tex> при Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>i\ge\alpha(t)+2S</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ.  лемма 3.2 #Если работа с номером <tex>\alpha(t + 1) > \alpha(t) i</tex> тогда выполнится в <tex>\alpha(t) = 0S</tex> или с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>c(\alpha(t),t)\le Ak^2/\nuS</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.  Доказательство#Если работы с номерами <tex>\alpha(t+1) > \alpha(t) > 0i</tex>, тогда <tex>\alpha(t) - 1 < \alpha^*(t + 1) </tex>, а значит и <tex>c(\alpha(t),t) < 2Ak^2/\nuj</tex>. == Анализ работы сети ==Посторонним ключем будем называть ключ, находящийся в узле расписании <tex>xS</tex>выполняются вовремя, котороый но при этом не будет отправлен ниже по дереву при переходе к следующему шагу. Посторонним ключем порядка <tex>rd_i < d_j </tex> будем называть такой ключ, который останется посторонним, даже если его переместить в его предка, находящегося на но <tex>rj</tex> уровней выше по дереву.(По сути, посторонний ключ - посторонний ключ порядка ноль).Далее мы докажем, что стоит в момент времени <tex>t_fS</tex> узлы на уровне раньше <tex>\alpha(t_f) i</tex> не содержат посторонних ключей порядка . Тогда переставим работу с номером <tex>rj</tex> для некоторой константы так, чтобы она выполнялась после работы <tex>ri</tex>. Таким образом, каждая из работ, зависящей только от находившихся в <tex>A, k, \nuS</tex> Для этого рассмотрим следующее предположение Для любого между <tex> i = 0, 1, \dots , d j</tex> и для любого <tex> r = 0, 1, \dots , d i</tex> каждый узел на уровне , включая <tex>i</tex> содержит менее чем , будет выполняться в новом расписании на <tex>\mu \delta^r c(i, t) p_j</tex> посторонних ключей порядка единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex> r S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.  Так как #*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>c(\alpha(t_f), t_f) < 2 A^2 k^2 S</tex>, то остается только проверить, что предположение выполняеся во время tex>t_fкак оптимального решения.#*Поскольку </tex> для некоторых d_i <tex>\mud_j </tex> и работа <tex>\deltai</tex> (зависящего только от будет заканчиваться на <tex> i = 0, 1, \dots , d p_j</tex>) единиц времени раньше,такого, что то стоящая сразу послее нее работа <tex>\delta < 1 j</tex>тоже будет успевать выполниться.}}

Используем индукцию по t, чтобы доказать, что лемма выполняется для любого ==См. также ==* [[Классификация задач]]* [[1ripipsumwu|<tex>t = 0, 1, \dots mid r_i, t_f </tex> для некоторых <tex>p_i=p \mu</tex> и <tex>mid \deltasum w_i U_i</tex>(зависящей только от ]]* [[1pi1sumwu|<tex>k, A , 1 \nu </tex>) такой, что <tex> \delta < mid p_{i} = 1 </tex>. Это может быть верным только если модули сепараторов используемые в сети достаточно хорошие. При условии, что все эти сепараторы (за исключением того, кторый используется в корне в момент времени <tex>t = 0 </tex>) имеют одинаковые параметры <tex>\varepsilon_B, mid \delta_F, \varepsilon_F sum w_{i}U_{i}</tex> а у того сепаратора, который в корне, вместо <tex>\varepsilon_B </tex> будет <tex>\varepsilon^]]*</tex>, мы подберем ограничения на [[R2Cmax|<tex>R2 \mu, \delta, \varepsilon_B, mid \delta_F, \varepsilon_F, \varepsilon </tex> так, что можно будет проделать индукцию по <tex>t mid C_{max}</tex>.]]

== Мусор Источники информации ==* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 26 - 28