170
правок
Изменения
Нет описания правки
==Постановка задачи==
Даны матроиды <tex>M_1 = \langle S, I_1 \rangle</tex> и <tex>M_2 = \langle S, I_2 \rangle</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности независимое множество в пересечении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>.
==Алгоритм решения==
Пусть множество <tex>J \in (I_1 \cap I_2)</tex>.<br>Определим [[Граф замен для двух матроидов|граф замен]] <tex>D_{M_1, M_2}(J) = (\langle S, A(J))\rangle</tex>, где
<tex>A(J) = \{(y, z) | y \in J, z \in S\setminus J, J - y + z \in I_1 \} </tex>
<tex>\cup \{ (z', y') | z' \in S \setminus J, y' \in J, J - y' + z' \in I_2 \}</tex>. Пусть <tex>X_1 = \{ z \in S \setminus J | J + z \in I_1 \}</tex>, <tex>X_2 = \{ z \in S \setminus J | J + z \in I_2 \}</tex>, <tex>P</tex> {{---}} кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex> в графе <tex>D_{M_1, M_2}(J)</tex>. <tex>P</tex> может и не существовать.
{{Лемма
|statement =
Если в графе <tex>D_{M_1, M_2}(J)</tex> нет пути из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>, то <tex>J</tex> {{---}} искомое максимальное по мощности независимое множество в пересечении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>.
|proof =
Отметим, что если <tex>X_1</tex> или <tex>X_2</tex> пустые, то <tex>J</tex> {{---}} база в одном из исходных матроидов <tex>M_1</tex> или <tex>M_2</tex> и, следовательно, искомое максимальное по мощности независимое множество в пересечении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. Таким образом, предположим, что <tex>X_1</tex> и <tex>X_2</tex> непусты. Пусть <tex>U</tex> {{---}} множество вершин, из которых достижимы вершины из <tex>X_2</tex>. Отсутствие пути из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex> означает, что <tex>X_1 \cap U = \emptyset</tex>, <tex>X_2 \subseteq U</tex> и <tex>\delta^- (U) = \emptyset</tex> (т.е. в <tex>U</tex> не входит ни одной дуги). Тогда:
<tex>r_1 (U) \le |J \cap U|</tex>
|proof =
От противного. Пусть <tex>r_1 (U) > |J \cap U|</tex>, тогда <tex>\exists z \in U \setminus (J \cap U)</tex> : <tex>(J \cap U) + z \in I_1</tex> при том, что <tex>J + z \notin I_1</tex>. В противном случае (<tex>J + z \in I_1</tex>), <tex>z \in X_1</tex>, то есть <tex>X_1 \cap U \ne \emptyset</tex>, что противоречит отсутствию пути из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. Так как <tex>(J \cap U) + z \in I_1</tex>, а <tex>J + z \notin I_1</tex>, <tex>\exists y \in J \setminus U</tex> : <tex>J - y + z \in I_1</tex>. Однако, тогда <tex>(y, z) \in A(J)</tex>, что противоречит тому факту, что <tex>\delta^- (U) = \emptyset</tex>.
}}
{{Утверждение
<tex>r_2 (S \setminus U) \le |J \cap (S \setminus U)|</tex>
|proof =
От противного. Пусть <tex>\exists z \in (S \setminus U) \setminus J</tex> : <tex>J \cap (S \setminus U) + z \in I_2</tex>. Аналогично доказательству предыдущего утверждения, <tex>\exists y \in J \setminus (S \setminus U)</tex> : <tex>J - y + z \in I_2</tex>. Однако <tex>J \setminus (S \setminus U) = J \cap U</tex>, то есть <tex>(z, y)</tex> {{---}} дуга в <tex>D_{M_1, M_2}(J)</tex>, поэтому <tex>z \in U</tex> (т.к. <tex>y \in U</tex>). Противоречие.
}}
Так как <tex>|J| = |J \cap U| + |J \setminus U| \ge r_1 (U) + r_2 (S \setminus U)</tex>, <tex>|J| = r_1 (U) + r_2 (S \setminus U)</tex>. Таким образомСледовательно, <tex>J</tex> {{---}} максимальное по мощности независимое множество в пересечении <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>.
}}
{{Лемма
|proof =
[[Файл:Intersection2.jpg|right]]
Пусть <tex>P = z_0, y_1, z_1, ..., y_t, z_t</tex>, <tex>; G = \{ z_1, ..., z_t \} \cup (J \setminus \{ y_1, ..., y_t \})</tex>. Тогда <tex>G \subseteq S</tex>, <tex>|G| = |J|</tex> и дуги из <tex>\{ y_1, ..., y_t \}</tex> в
<tex>\{ z_1, ..., z_t \}</tex> составляют единственное полное паросочетание в <tex>J \bigtriangleup G</tex>. То есть, согласно [[Лемма о единственном паросочетании в графе замен | лемме о единственном паросочетании в подграфе замен]], <tex>G \in I_1</tex>.
К тому же, <tex>\forall i \ge 1 \ z_i \notin X_1</tex>, иначе <tex>P</tex> {{---}} не кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. Это означает, что <tex>z_i + J \notin I_1</tex>, то есть <tex>r_1 (J \cup G) = r_1 (J) = r_1 (G) = |G| = |J|</tex>. Так как <tex>J + z_0 \in I_1</tex>, <tex>G + z_0 \in I_1</tex> (т.е. <tex>J' = \{ z_0, z_1, ..., z_t \} \cup (J \setminus \{ y_1, ..., y_t \}) \in I_1</tex>.Симметрично<tex>(G = \{ z_0, ..., z_{t - 1} \} \cup (J \setminus \{ y_1, ..., y_t \}))</tex>, <tex>J' \in I_2</tex> и, следовательно, <tex>J' \in (I_1 \cap I_2)</tex>.
}}
