3622
правки
Изменения
м
→Доказательство
Рассмотрим задачу <tex>1 \mid prec \mid f_{max}</tex>.
{{Задача
|definition = <wikitex>Дано $n$ работ, которые надо выполнить на одной машине, причем $i$-ая работа выполняется $p_i$ времени. Для каждой работы задана монотонно неубывающая функция $f_i$. Также между работами заданы отношения в виде ориентированного графа без циклов: если существует ребро $a \to b$, то работа $a$ должна завершиться до начала выполнения работы $b$. Необходимо построить такое расписание, чтобы величина $f_{max} = \max\limits_{j=1}^{..n}{f_j(C_j)}$, где $C_j$ {{---}} время окончания выполнения $j$-ой работы, была минимальна.</wikitex>
}}
<wikitex>Задача $1 \mid \mid f_{max}$ является частным случаем вышеописанной задачи. Здесь нет зависимостей между работами, то есть граф состоит из $n$ вершин и не содержит ребер. Очевидно, решив задачу в общем виде, мы также решим и эту.</wikitex>
==Правило Лаулера==
===Формулировка===
<wikitex>Существует простой [[Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм )| жадный алгоритм]] решения этой задачи, открытый Лаулером. Он заключается в том, чтобы строить расписание с конца.
Пусть $N = \{1, \dots, n\}$ {{---}} множество работ, и $S \subseteq N$ {{---}} множество работ, которых ещё нет в расписании. Пусть также $p(S) = \sum\limits_{j \in S}{p_j}$. Тогда правило Лаулера можно сформулировать следующим образом: взять работу $j \in S$, у которой нет детей в графе зависимостей и имеющую минимальное значение $f_j(p(S))$, и сделать ее последней среди работ из $S$.
find job j in S with N[j] == 0 and minimal f[j](P)-value
S = S \ {j}
N[ij] = <tex>\infty</tex>
schedule[k] = j
P -= p[j]
Вышеописанный алгоритм строит оптимальное расписание для задачи <tex>1 \mid prec \mid f_{max} </tex>.
|proof=
[[Файл:1.jpg]] <wikitex>Пусть алгоритм построил расписание, в котором работы идут в порядке $1,2,\dots,n$. Также пусть $\sigma : \sigma(1), \dots, \sigma(n)$ {{---}} оптимальное расписание. Предположим, что $\sigma(i) = i$ для $i = n, n-1, \dots, r$ и $\sigma(r - 1) \ne r-1$, причем $r$ максимальное. Тогда имеем ситуацию, изображенную на рисункевыше. [[Файл:1.jpg|right]]
Мы можем поставить работу $r - 1$ сразу перед $r$ по построению. Поэтому $r - 1$ и $j$ не имеют наследников в множестве ${1,\dots,r-1}$. Пусть $p_{r-1}$ и $p_j$ есть времена, в которые выполняются работы $r-1$ и $j$. Теперь, если мы поменяем работы $r-1$ и $j$ местами, то ответ не ухудшится. Действительно, $f_j(p_{r-1}) \leqslant f_j(p_j)$ и $f_{r-1}(p_j) \leqslant f_j(p_j)$, а значения соответствующих функций для работ между $r-1$ и $j$ не изменятся, поэтому после перестановки ответ не ухудшится.
</wikitex>
==Источники информации==
* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 62 -63 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Теория расписаний]]
