Докажем аксиомы независимости для <tex> I </tex>.
1) # <tex>\varnothing \in I</tex> <br>В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов. 2) # <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex> <br>Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться. 3) # <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, \ A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex> <br>В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
}}
