Изменения
→Полнота L^p
=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> - — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> - — фундамтельная в <tex>L^p</tex><br>
Строим кандидата на роль предела:<br>
<texdpi=150>\epsilon varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}</tex><br>\\ \\<tex> \epsilon varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}</tex><br>\\ \\<tex> \epsilon varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad ...\dots</tex><br>
Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex><br>
<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex><br>
Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex><br>
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex><br>
<br>
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема<br>
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>.<br>
<br>
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex><br>
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex><br>
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> - — конечна<br>
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex><br>
<br>
<tex>\forall \epsilon varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \epsilonvarepsilon^p</tex><br>
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex><br>
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex><br>
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \epsilonvarepsilon^p</tex><br>
<br>
По теорему теореме Фату:<br><tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \epsilonvarepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}
