Изменения
→Формула для Бета-функции
{{Теорема
|statement=
<tex>\betaB(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>
С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>
С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>
Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>
Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}
