Изменения
Нет описания правки
<br>а), б) База: <tex> \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .</tex> По теореме Барроу <tex>y_{1}(x) \: - </tex> непрерывна при <tex>\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.</tex><br> <tex>\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.</tex><br>переход доказывается аналогично.<br> в) составим последовательность частичных сумм: <tex>y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + ... + (y_{n} - y_{n - 1})</tex><br>
<tex>\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right |</tex><br>
<tex>\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{1} - y_{0}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex>lM \int_{x_{0}}^{x}\left | \bar{x} - x_{0} \right | d\bar{x} = lM \frac{\left | x - x_{0} \right |^{2}}{2}</tex><br><tex>\left | y_{3} - y_{2}\right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{2}) - f(\bar{x}, y_{1})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}lM \frac{\left | \bar{x} - x_{0} \right |^{2}}{2}d\bar{x} =</tex> <tex> \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{3}}{6}</tex><br><tex>...</tex><br><tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!}</tex>}}
