Изменения
→Задача Коши
<tex>a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br>
<tex>b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br>
<tex>c) \:\:\: y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\:</tex><br><tex>d) \:\:\: \bar{y}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br><tex>e) \:\:\: \left | \bar{y}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br>
<br>a), b) База: <tex> \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .</tex> По теореме Барроу <tex>y_{1}(x) \: - </tex> непрерывна при <tex>\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.</tex><br> <tex>\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.</tex><br>переход доказывается аналогично.<br>
c) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Составим функциональный ряд <tex>y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + \dotsb</tex> и замажорируем его слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности.<br>
<tex>...</tex><br>
<tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex><br>
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: <tex> \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).</tex> Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд равомерно сходится равномерно.к некоторой функции <brtex>d\bar{y}(x)следует из c</tex>, которая будет непрерывна и огранинченна в силу непрерывности и ограниченности <tex>y_{n}(x)<br/tex> ( d), e) в силу b) можем сделать предельный переход и получить нужное неравенство.<br> ИтакТеперь проверим, теперь все готово для доказательства теоремычто <tex>\bar{y}(x)</tex> является решением задачи Коши. т.к. <tex>y_{n}(x) \rightrightarrows \bar{y}(x) \:\: \Leftrightarrow \: \forall \varepsilon > 0 \: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n > N \Rightarrow \left | y_{n}(x) - y(x) \right | < \varepsilon, \: </tex><tex>\: \forall x \in (x_{0} - h, x_{0} + h).</tex><br>
<tex>\left | y_{n}(x) - y(x) \right | = \left | \int_{x_{0}}^{x} (f(\bar{x}, y_{n}) - f(\bar{x}, y))d\bar{x} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n} - y \right |d\bar{x} \leqslant l \varepsilon h</tex> }}
