Изменения
Нет описания правки
#<tex> \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| </tex>
То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство. Для метрических пространств основное значение имеет множество, являющееся открытым шаром(<tex> V_r</tex>).
{{Определение
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - метрическое пространство, <tex> r > 0, a \in X </tex>, тогда <tex> V_r(a) = \{x: \rho(x, a) < r \} </tex>
}}
<tex> X = R: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex>
{{Теорема
|about=
Свойство шаров
|statement=
Пусть <tex> b \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0: V_r(b) \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex> <br \>
Простым языком: Если два открытых шара пересекаются, то существует открытый шар, принадлежащий их пересечению(вроде так?).
|proof=
Замечание - для X = R - очевидно(перечечение двух интервалов тоже есть интервал).
: Пусть <tex> y \in V_{r}(b)</tex>
: <tex> \rho (b, a_j) < r_j, j = 1,2 </tex>
: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_j) < r_j, j = 1,2.</tex>
# <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1, d_1 > 0 </tex>
# <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2, d_2 > 0 </tex>
: <tex> r = min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
}}
{{В разработке}}
