Изменения

|proof=

Обозначим язык всех общезначимых формул <tex>L = \{w | w</tex> {{---}} общезначимая формула исчисления предикатов первого порядка<tex>\}</tex>. Покажем, что [[Разрешимые (рекурсивные) языки#uni | универсальный язык]] <tex>U</tex> [[m-сводимость | m-сводится]] к <tex>L</tex>. Для этого нужно построить вычислимую функцию <tex>f</tex>, которая принимает на вход пару из [[ Машина Тьюринга | машины Тьюринга ]] <tex>M = \langle \Sigma, \Pi, B, Q, Y, N, S, \delta \rangle</tex> и слова <tex>w</tex> и возвращает некоторую формулу исчисления предикатов, причём:

Введём двухместный предикат <tex>=</tex> со следующими аксиомами равенства (для удобства будем использовать инфиксную запись):

Для каждого символа <tex>s \in \Pi</tex> заведём константу <tex>s</tex>, для каждого состояния <tex>q \in Q</tex> заведём константу <tex>q</tex>. Чтобы специальным образом кодировать ленту, введём две двухместные функции: <tex>|</tex> и <tex>\cdot</tex>, а также одноместную функцию <tex>g</tex>. [[ Машина Тьюринга#conf | Конфигурацию ]] <tex>\langle c_0 c_1 \ldots c_{l - 1}, q, c_l \ldots c_m \rangle</tex> теперь можно представить следующей формулой (опять же будем использовать инфиксную запись для удобства):

Заведём множество формул <tex>A</tex>. Для каждого перехода, сдвигающего головку влево, <tex>\delta(q, c_1) = \langle p, c_2, \leftarrow \rangle</tex> добавим в <tex>A</tex> формулу <tex>\forall x \forall y ((q | x \cdot c_0 \cdot g(c_1) \cdot y) = (p | x \cdot g(c_0) \cdot c_2 \cdot y))</tex>. Для переходов, сдвигающих головку вправо или оставляющих на месте, аналогичным образом добавим соответствующие формулы в <tex>A</tex>.

Теперь можно построить формулу <tex>f(\langle M, w \rangle)</tex>:

Если же <tex>M</tex> не допускает <tex>w</tex>, то и доказательства для <tex>f(\langle M, w \rangle)</tex> существовать не будет. Это вытекает из того факта, что во всём множестве <tex>A</tex> присутствует лишь одна формула, содержащая предикат <tex>yes</tex> {{---}} <tex>\forall x (yes(Y | x))</tex>. Поэтому доказать следование <tex>yes(S | x_0 \cdot x_1 \cdot \ldots \cdot x_k)</tex> можно лишь через эту формулу. Для подмены аргументов в предикатах существуют только аксиомы равенства, а <tex>(S | x_0 \cdot x_1 \cdot \ldots \cdot x_k)</tex> не равна никакой другой формуле вида <tex>(Y | x)</tex>, поэтому от <tex>\forall x (yes(Y | x)</tex> не перейти к <tex>yes(S | x_0 \cdot x_1 \cdot \ldots \cdot x_k)</tex>, а значит, и доказательство <tex>f(\langle M, w \rangle)</tex> построить не удастся. Поэтому эта формула не будет общезначимой.

== См. также ==

== Источники информации ==