Изменения

[[Методы трансляции#Нисходящий разбор|Методы нисходящего разбора]] (англ. ''top-down parsers'') не в состоянии работать с леворекурсивными грамматиками. Проблема в том, что продукция вида <tex>A \Rightarrow^* A\alpha</tex> может применяться бесконечно долго, так и не выработав некий терминальный символ, который можно было бы сравнить со строкой. Поэтому требуется преобразование грамматики, которое бы устранило левую рекурсию. 

<tex>A \to A\alpha_1\,|\,mid \ldots\,|\,mid A\alpha_n\,|\,mid \beta_1\,|\,mid \ldots\,|\,mid \beta_m </tex>, где

<li>Заменим правила вывода из <tex>A</tex> на <tex>A \to\beta_1A^\prime\, |\, mid \ldots\, |\, mid \beta_mA^\prime \,|\, mid \beta_1 \,|\, mid \ldots \,|\, mid \beta_m</tex>.</li>

<li>Создадим новый нетерминал <tex>{A^\prime} \to \alpha_1{A^\prime}, |\, mid \ldots\, |\, mid \alpha_n{A^\prime} | \mid \alpha_1\, |\, mid \ldots\, |\, mid \alpha_n</tex>. </li>

Изначально нетерминал <tex>A</tex> порождает сроки строки вида <tex>\beta\alpha_{i0}\alpha_{i1} \ldots \alpha_{ik}</tex>. В новой грамматике нетерминал <tex>A</tex> порождает <tex>\beta{A^\prime}</tex>, а <tex>A^\prime</tex> порождает строки вида <tex>\alpha_{i0}\alpha_{i1} \ldots \alpha_{ik}</tex>. Из этого очевидно, что изначальная грамматика эквивалентна новой.

<tex>A \to S\alpha | \mid A\alpha</tex>

<tex>A \to S\alpha{A^{\prime}} | \mid S\alpha</tex>

<tex>A^{\prime} \to \alpha{A^{\prime}\mid \alpha}</tex>

Воспользуемся [[Удаление_eps-правил_из_грамматики | алгоритмом удаления <tex> \varepsilon </tex>-правил]]. Получим грамматику без <tex> \varepsilon </tex>-правил для языка <tex>L(\Gamma) \setminus \lbrace \epsilon varepsilon \rbrace</tex>.

Упорядочим нетерминалы , например по возрастанию индексов, и будем добиваться того, чтобы не было правил вида <tex>A_i \to A_j\alpha</tex>, где <tex>j \le leqslant i</tex>.Если данное условие выполняется для всех<tex>A_i</tex>, то в грамматике нет <tex>A_i \toRightarrow^* A_i</tex>, а значит не будет левой рекурсии.

Если '''for''' <tex>A_i \varepsilonin N</tex> присутствовал в языке исходной грамматики, добавим новый начальный символ '''for''' <tex>SA_j \in \{ N \mid 1 \leqslant j < i \}</tex> '''for''' <tex>p \in \{ P \mid A_i \to A_j\gamma \}</tex> и правила удалить продукцию <tex>Sp</tex> '''for''' <tex>Q \to S x_i \in \{A_j \to \delta_1 \mid \ldots \, | mid \delta_k\}</tex> добавить правило <tex>A_i \, to x_i\varepsilon gamma</tex> устранить непосредственную левую рекурсию для <tex>A_i</tex>.

Если <tex>\varepsilon</tex> присутствовал в языке исходной грамматики, добавим новый начальный символ <tex>S'</tex> и правила <tex>S' \to S \, \mid \, \varepsilon </tex>. После <tex>i</tex> итерации внешнего цикла в любой продукции внешнего цикла в любой продукции вида <tex>A_k \to A_l\alpha, k < i</tex>, должно быть <tex>l > k</tex>. В результате при следующей итерации внутреннего цикла растет нижний предел <tex>m</tex> всех продукций вида <tex>A_i \to A_m\alpha</tex> до тех пор, пока не будет достигнуто <tex>i \le leqslant m </tex>.

Можно заметить, что неравенство становится строгим только после применения алгоритма устранения непосредственной левой рекурсии. При этом добавляются новые нетерминалы. Пусть <tex>{A^\prime}_i </tex> новый нетерминал. Можно заметить, что нет правила вида <tex>\ldots \to {A^\prime}_i</tex>, где <tex>{A^\prime}_i</tex> самый левый нетерминал, а значит новые нетерминалы можно не рассматривать во внешнем цикле. Для строгого поддержания инвариантов цикла можно считать, что созданный на <tex>i</tex> итерации в процессе устранения непосредственной левой рекурсии нетерминал имеет номер <tex>A_{-i}</tex> (т.е. имеет номер, меньший всех имеющихся на данный момент нетерминалов).

На <tex>i</tex> итерации внешнего цикла все правила вида <tex>A_i \to A_j \gamma</tex> где <tex> j < i </tex> заменяются на <tex>A_i \to \delta_1\gamma | \mid \ldots | \mid \delta_k\gamma</tex> где <tex>A_j \to \delta_1 | \mid \ldots | \mid \delta_k</tex>. Очевидно, что одна итерация алгоритма не меняет язык, а значит язык получившийся в итоге грамматики совпадает с исходным.

===АсимптотикаОценка времени работы===

Тогда <tex>i</tex> итерация внешнего цикла будет выполняться за <tex>O\left(\sum\limits_{A_i \to A_j, j < i} a_j\right) + O(a_i)</tex>, что меньше чем <tex>O\left(\sum\limits_{i=1}^n a_j\right)</tex>, значит асимптотика алгоритма <tex>O\left(n\sum\limits_{i=1}^n a_j\right)</tex>.

<tex>A_1 \to 0 \mid 1</tex> <tex>A_{i+1} \to {A_i}0 \mid {A_i}1 </tex> для <tex>1 \leqslant i < n</tex> Упорядочим множество нетерминалов по возрастанию индексов. Легко заметить, что правила для <tex>A_i</tex> будут представлять из себя все двоичные вектора длины <tex>i</tex>, а значит размер грамматики будет экспоненциальным.===Порядок выбора нетерминалов==={{Определение| 1definition=Говорят, что нетерминал <tex>X</tex> {{---}} '''прямой левый вывод''' (англ. ''direct left corner'') из <tex>A</tex>, если существует правило вида <tex>A \to X\alpha</tex>.}} {{Определение|definition='''Левый вывод''' (англ. ''left corner'') {{---}} [[Транзитивное_отношение|транзитивное]], [[Рефлексивное_отношение|рефлексивное]] замыкание отношения «быть прямым левым выводом».}} Во внутреннем цикле алгоритма для всех нетерминалов <tex>A_i</tex> и <tex>A_j</tex>, таких что <tex>j < i</tex> и <tex>A_j</tex> {{---}} прямой левый вывод из <tex>A_i</tex> заменяем все прямые левые выводы <tex>A_j</tex> из <tex>A_i</tex> на все выводы из <tex>A_j</tex>.

Это действие удаляет левую рекурсию только если <tex>A_A_i</tex> {{i+1---}} \to леворекурсивный нетерминал и <tex>A_j</tex> содержится в выводе <tex>A_i</tex> (то есть <tex>A_i</tex> {{A_i---}0 | {A_i}1 левый вывод из <tex>A_j</tex> для ,в то время как <tex>A_j</tex>1 \leq i {{---}} левый вывод из < ntex>A_i</tex>).

Перестанем добавлять бесполезные выводы, которые не участвуют в удалении левой рекурсии, упорядочив нетерминалы так: если <tex>j < i</tex> и <tex>A_j</tex> {{---}} прямой левый вывод из <tex>A_i</tex>, то <tex>A_i</tex> {{---}} левый вывод из <tex>A_j</tex>.Упорядочим множество нетерминалов их по возрастанию индексовуменьшению количества различных прямых левых выводов из них. Легко заметить Так как отношение «быть левым выводом» транзитивно, что правила для то если <tex>C</tex> {{---}} прямой левый вывод из <tex>A_iB</tex> будут представлять , то каждый левый вывод из С также будет левым выводом из себя все двоичные вектора длины <tex>iB</tex>. А так как отношение «быть левым выводом» рефлексивно, <tex>B</tex>явлеяется своим левым выводом, а значит размер грамматики будет экспоненциальным. Если упорядочить нетерминалы по убыванию если <tex>C</tex> {{---}} прямой левый вывод из <tex>B</tex> {{---}} он должен следовать за <tex>B</tex> в грамматике изменений упорядоченном множестве, если только <tex>B</tex> не будетявляется левым выводом из <tex>C</tex>.

Дана грамматика:

<tex>S \to S\beta | \mid A\gamma | \mid \beta</tex>

<tex>S \to{S}{\beta} | \mid {S}{\alpha}{\gamma} | \mid \beta</tex>

<tex> {S_1} \to\beta{S_1} | \mid \alpha\gamma{S_1} | \mid {\beta} | \mid {\alpha}{\gamma} </tex> == См. также ==* [[Контекстно-свободные_грамматики,_вывод,_лево-_и_правосторонний_вывод,_дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]]* [[Удаление_eps-правил_из_грамматики | Удаления <tex> \varepsilon </tex>-правил из грамматики]]

==ЛитератураИсточники информации ==