Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Числа Эйлера I и II рода

117 байт добавлено, 23:18, 19 января 2016
м
Нет описания правки
==Числа Эйлера I рода==
'''''Числа Эйлера I рода''''' (англ. ''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex dpi=190>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>a</tex> и <tex>b</tex> — соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex>n</tex> причем <tex>a < b</tex>. Тогда пара <tex>(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (англ. ''ascent'') данной перестановки.
}}
'''''Числа Эйлера I рода''''' (англ. ''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex dpi=190>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.
===Вывод рекуррентной формулы===
Пусть у нас есть некая перестановка <tex> \pi = \pi_1, \pi_2...\ldots \pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером <tex>n</tex> в какую-либо из позиций мы получим <tex>n</tex> перестановок вида <tex>\theta = \theta_1, \theta_2...\ldots \theta_p, n, \theta_q...\ldots \theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:
# Количество подъемов в перестановке <tex>\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex>\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex>n</tex> на самое первое место в <tex>\theta</tex> (всего <tex dpi=190>\langle{n\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема (еще <tex>m \times </tex><tex dpi=190> \langle{n\atop m}\rangle </tex> раз).
{{Теорема
|statement=
Число <tex dpi=190>\fracdfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;.
|proof=
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема:
|statement=
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> — вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... \ldots w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:
<tex dpi = "140">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \fracdfrac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex>
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le leqslant z \}</tex> — полупространство;
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;
*<tex>[n] := \{1,2...\ldots n\}</tex>;*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> — подмножество <tex>\{1,2...\ldots n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны <tex>1</tex>, а остальные {{---}} нули;
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...\ldots +x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>.
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex>
Положим <tex>W_n^m</tex> — фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>.
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \le leqslant x \cdot 1_{[n]} \le leqslant m+1 \} \cap I^{n}</tex>
Тогда перейдем к следующему равенству:
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex>
:<tex>= \fracdfrac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex>:<tex> = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> :<tex> = \fracdfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль):<tex> = </tex> <tex dpi=190>\fracdfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> (вторая явная формула)
}}
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:
#:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle</tex><tex>,\ n \ge geqslant 1,\ 0 \le leqslant k \le leqslant n-1. \, </tex>
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^{n}</tex><tex dpi=190> \left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = n!,\ n \ge geqslant 0, \,</tex>
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m </tex><tex dpi=190>{\left\langle{n\atop m}\right\rangle}</tex> <tex>{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex>
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\fracdfrac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.
==Числа Эйлера II рода==
'''''Числа Эйлера II рода''''' (англ. ''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "190"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex>
{{Лемма
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2..\ldots n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.
|proof = Докажем лемму методом математической индукции.
===Треугольник чисел Эйлера II рода===
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \le leqslant n \le leqslant m \le leqslant 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.
:::{| class="number_triangle"
50
правок

Навигация