Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Поток минимальной стоимости

1499 байт добавлено, 16 сентябрь
Алгоритм: Оказывается бывают отрицательные стоимости
{{Определение
|definition='''Стоимость потока'''. Дана Пусть дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>\forall (u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex>\exists c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v)</tex> {{---}} стоимость пересылки единицы и цену за единицу потока и пропускная способность<tex>a(u, v) </tex>. Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>T</tex>::<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)>0} ca(u,v) \cdot f(u,v)</tex>
}}
===Свойства стоимостисети===
* Поток не может превысить пропускную способность.
:<tex>f(u,v) \le leqslant c(u,v)</tex>
* Поток из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> должен быть противоположным потоку из <tex>v</tex> в <tex>u</tex>.
:<tex>f(u, v)=-f(v, u)</tex>
* Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно <tex>0</tex>.
:<tex> \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0</tex>
{{Задача
|definition = Дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>\forall (u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex>\exists c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v)</tex> {{---}} стоимость пересылки единицы и цену за единицу потока и пропускная способность<tex> a(u, v) </tex>. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.
}}
=== Алгоритмы решения =====Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети===* Воспользуемся [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|Леммой леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети]]. Получим следующий алгоритм:====Алгоритм====* '''Начало.'''* '''Шаг 1'''. Определим для каждого прямого ребра <tex>(u,v)</tex> обратное ребро <tex>(v,u)</tex>. Определим его характеристики: <tex>c(v,u)=0</tex>, <tex>f(v,u)=-f(u,v)</tex>, <tex>a(v,u)=-a(u,v)</tex>.*'''Шаг 2'''. Для каждого ребра зададим поток равный <tex>0</tex>.* '''Шаг 3'''. Найдем любой произвольный максимальный поток величины (любым алгоритмом нахождения максимального потока), построим для него остаточную сеть, где каждому ребру будет соответствовать величина <tex>f_0a(u,v) \cdot (c(u,v) - f(u,v))</tex>.** '''Шаг 4'''. При помощи [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана]] найдем отрицательные циклы отрицательный цикл в остаточной построенной сети. Если отрицательный цикл не нашелся {{---}} перейдем к '''шагу 6'''.** '''Шаг 5'''. Избавимся от всех найденных цикловотрицательного цикла, для этого, пустим по ним нему максимально возможный поток.Величина потока равна минимальной остаточной пропускной способности в цикле. Перейдем к '''шагу 4'''.* '''Шаг 6'''. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.* '''Конец.'''
*[[Поиск_потока_минимальной_стоимости_методом_дополнения_вдоль_путей_минимальной_стоимости====Асимптотика====Алгоритм Форда-Беллмана работает за <tex>O(VE)</tex>, улучшение цикла за <tex>O(E)</tex>. Если обозначить максимальную стоимость потока как <tex>C</tex>, а максимальную пропускную способность как <tex>U</tex>, то алгоритм совершит <tex>O(ECU)</tex> итераций поиска цикла, если каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем <tex>O(V E^2 C U + maxFlow)</tex>, где <tex>maxFlow</tex> - асимптотика поиска максимального потока. ===Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости==={{main|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]].}} ===Использование потенциалов Джонсона===*[[Использование_потенциалов_Джонсона_при_поиске_потока_минимальной_стоимости{{main|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма)]].}}
== См. также ==
* [[Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]]* [[Теорема Форда-Фалкерсона Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|Теорема Форда-Фалкерсона Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости]]* [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сетиВенгерский алгоритм решения задачи о назначениях|Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сетиВенгерский алгоритм решения задачи о назначениях]]
== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия {{- --}} Поток минимальной стоимости]
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/min-cost-max-flow-2009 Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости]
*[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр {{- --}} Максимальный поток минимальной стоимости] == Литература ==* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. {{---}} 1296 с.: ил. {{---}} Парал. тит. англ. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
6
правок

Навигация