Изменения
Нет описания правки
Теорема Махэни, доказанная Стефаном Махэни в 1982 году, утверждает, что если хотя бы один [[#Sparse|редкий язык]] {{---}} [[Сведение_относительно_класса_функций._Сведение_по_Карпу._Трудные_и_полные_задачи#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D1.82.D1.80.D1.83.D0.B4.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.B8_.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.B7.D0.B0.D0.B4.D0.B0.D1.87 | <tex> \mathrm{NP} </tex>-полный]], то <tex> \mathrm{P} = \mathrm{NP} </tex>
==Подготовка к доказательству==
{{Определение
|definition=
<tex>\mathrm{LSAT} = \{\langle \varphi, y \rangle \mid \exists x: x \leqslant_{lex} y, \varphi(x) = 1\}</tex>, где <tex> \varphi </tex> {{---}} [[Определение_булевой_функции | булева формула ]] из <tex>n</tex> переменных, <tex>x, y \in \{0,1\}^{n} </tex> и отношение <tex> \leqslant_{lex} </tex> задает [[Лексикографический порядок | лексикографический порядок]].
}}
|statement=<tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}</tex>.
|proof=
#Очевидно, что <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NP}</tex> (в качестве [[Классы NPКлассы_NP, coNP_coNP, Σ₁_Σ₁, Π₁_Π₁#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F.2C_.D1.81.D0.B2.D1.8F.D0.B7.D1.8C_.CE.A3.E2.82.81_.D0.B8_NP|сертификата]] можно запросить <tex>x</tex>).
#[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи | Сведём]] <tex>\mathrm{SAT}</tex> к <tex>\mathrm{LSAT}</tex>. Для этого рассмотрим отображение <tex>\varphi \mapsto \langle \varphi, 1^{|\varphi|}\rangle</tex>, где <tex>|\varphi|</tex> — количество различных переменных в формуле <tex>\varphi</tex>. Ясно, что данное преобразование можно сделать за полиномиальное время. Теперь докажем, что сведение верное.
#*Если <tex>\varphi \in \mathrm{SAT}</tex>, то формула <tex>\varphi</tex> удовлетворима, а значит <tex>\exists x: x \leqslant_{lex} 1^{|\varphi|}, \varphi(x)=1</tex>. Такой <tex> x </tex> cуществует, потому что формула удовлетворима и любой вектор длины <tex> |\varphi| </tex> меньше либо равен единичному, значит мы переберем всевозможые вектора. Следовательно, <tex>\langle \varphi, 1^{|\varphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.
То есть множество языков таких, что множество слов длины <tex> n </tex> из языка ограничено полиномом от <tex> n </tex>.
'''Пример:''' Согласно [https://en.wikipedia.org/wiki/Church%E2%80%93Turing_thesis тезису Чёрча - Тьюринга], существует биекция между машинами Тьюринга и программами. Зафиксировав языкалфавит, можно занумеровать программы(программа будет иметь номер <tex>n</tex>, если ее код {{---}} <tex>n</tex>-е слово среди всех слов над алфавитом, отсортированных сначала по возрастанию длины, а при равной длине - в лексикографическом порядке), а следовательно и машины Тьюринга. Рассмотрим язык <tex> \{1^{n} \mid n</tex>-я [[Машина Тьюринга | машина Тьюринга]] останавливается в допускающем состоянии <tex> \} \in </tex>. Просто приняв <tex> p(n) = 1 </tex>, получим, что он принадлежит <tex> \mathrm{SPARSE}</tex>. Более того, любой унарный язык принадлежит <tex>\mathrm{SPARSE} </tex> (просто принять <tex> p(n) = 1 </tex>).
==Теорема==
Так как <tex>S\in \mathrm{NPC}</tex> и <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}</tex>, то существует полиномиальная функция сведения <tex>f</tex> такая, что <tex>\langle \varphi, y \rangle \in \mathrm{LSAT} \Leftrightarrow f(\langle \varphi, y \rangle) \in S</tex>.
Так как функция <tex>f</tex> работает полиномиальное время, и <tex>|\varphi|\geqslant|y|</tex> (<tex>|y|</tex> — длина вектора <tex>y</tex>), то <tex>f(\langle\varphi,y\rangle) \leqslant q(|\phivarphi|)</tex>, где <tex>q</tex> — полином.
<tex>S\in \mathrm{SPARSE}</tex>, следовательно <tex>\forall n \; |S \cap \Sigma^n|\leqslant p(n)</tex>, где <tex>p</tex> — некоторый полином.
Тогда <tex>|\{x\in S \mid |x| \leqslant q(|\varphi|)\}| \leqslant \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{q(|\varphi|)} p(i) = r(|\phivarphi|)</tex>, где <tex>r</tex> — также полином.
Опишем алгоритм для нахождения лексикографически минимальной строки <tex>x</tex>, удовлетворяющей формуле <tex>\varphi</tex>.
Пусть <tex>n=|\varphi|, r=r(|\varphi|)</tex>. Изначально область поиска для <tex>x</tex> — все строки длины <tex>n</tex>. Опишем одну итерацию поиска.
Разобьём текущее множество строк на <tex>r+1</tex> подотрезок примерно равной длины. Обозначим концы полученных подотрезков <tex>w_0,...\ldots ,w_{r+1}</tex>. Пусть теперь <tex>z_i=f(\langle\varphi,w_i\rangle)</tex>.
Из леммы (2) мы знаем, что, начиная с некоторого <tex>l</tex>, все пары <tex>\langle\varphi, w_l\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>. Тогда по сведению <tex>z_j \in S</tex> для всех <tex>j\geqslant l</tex>.
В обоих случаях мы сузили область поиска как минимум на <tex>\dfrac 1{r+1}</tex> её размера.
Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более <tex>r+1</tex> строки, которые мы можем проверить за полиномиальное время. Если какая-то из них удовлетворила формуле <tex>\varphi</tex>, то <tex>x=\min(w_i), w_i</tex> удовлетворяет <tex>\varphi</tex>. Иначе, <tex>x</tex> не существует.
Оценим время работы нашего алгоритма. После <tex>k</tex> итераций у нас останется не более <tex>2^n\left(1-\dfrac1{r+1}\right)^k</tex> строк. Оценим <tex>k</tex>.
