Изменения

<tex dpi = "200" >1 \mid r_i, p_i = 1 \mid \sum f_iw_i U_i</tex>{{Утверждение|id=krit_dol3|statement=Критерии Делоне для ребер и треугольников равносильны.|proof=[[Файл:dol3.png|400px|thumb|right|]]Из треугольника в ребра: если для каждого треугольника выполнен критерий, то для каждого ребра можно рассматривать плоскость при любом треугольнике при ребре.Обратно: Рассмотрим треугольник <tex>ABC</tex>, для каждого из ребра можно провести плоскость и они образуют трехмерный угол, снаружи которого нет точек. В пересечении угла и плосокости <tex>ABC</tex> образуется тетраэдр. Если в нем есть точки, то точки есть внутри треугольника, тогда это не триангуляция <tex>\implies</tex> точек в тетраэдре нет <tex>\implies</tex> плоскостью <tex>ABC</tex>можно отделить пространство с точками <tex>\implies</tex> выполняется глобальный критерий.}}Будем называть '''хорошими''' те рёбра, для которых выполняется локальный критерий Делоне.{{Лемма|about=4|id=fliplemmasphere|statement=Из двух рёбер, которые можно провести для пары треугольников, как минимум одно хорошее.|proof=}}

|definition= <ol><li>Имеется Есть один станок.</li><li>Есть и <tex>n</tex> работ, каждая из которых выполняется за единицу времени.</li><li> Каждая работа имеет своё Для каждой работы заданы время появления выполнения <tex>r_ip_i,</tex>. дедлаин </litex>d_i<li/tex>Для каждой и стоимось выполнения этой работы задана монотонно неубывающая функция <tex>f_iw_i \geqslant 0</tex>. </li></ol>Необходимо Необходим минимизировать <tex> \sum f_i, </tex> где <tex>f_i</tex> {{---}} значение функции <tex>f_i</tex> в момент завершения выполнения задания с номером <tex>iw_i U_i</tex>.

==Решение за ==Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]]. Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.#Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>.#Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием. Отсюда, получим соотношение:<p><tex>F_j(t) =\left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), & 0 \leqslant t \leqslant d_j \\F_j(d_j), & d_j < t < T\end{array} \right.</tex></p>В качестве начальных условий следует взять <tex> OF_j(n^3t) = \infty </tex> при <tex>t < 0, j =0,\ldots, n </tex> и <tex>F_0(t) =0 </tex> при <tex>t \geqslant 0 </tex>.

Эта задача может быть решена сведением к решению [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях | задачи о назначениях]].А именно, покажем, что решение задачи состоит сопоставлении <tex>n</tex> различным заданиям различных времен начала выполнения работы. Если сопоставляем работе <tex>i</tex> время <tex>t</tex>, то вклад в целевую функцию будет <tex> f_i(t + 1) </tex>. Далее будет показано, что при построении оптимального расписания нам нужно Ответом на задачу будет рассмотреть всего <tex>n</tex> различных времен начала работ. Следовательно, подобная задача может быть решена за <tex>OF_n(n^3d_n)</tex>.

Поскольку Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>f_iF_j(t)</tex> {{---}} монотонно неубывающие функции, то это значит, что в оптимальном расписании работы должны начинать исполняться как можно раньше. Первые для <tex>j = 0,\ldots, n</tex> самых ранних для начала исполнения времен и <tex>t_it = 0,\ldots, d_j </tex> могут быть вычислены следующим алгоритмом, в котором мы предполагаем, что все работы отсортированы по неубыванию времени появления . За <tex>r_ip_{max}</tex>:обозначим самое большое из времен выполнения заданий.

'''for''' <tex> i \in \t = -p_{ 2 max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex> '''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex> F_j(t) = \ldots infty '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex> F_0(t) = 0 '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n \} </tex> '''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex> '''if''' <tex>t_iF_{j-1}(t) + w_j < F_{j-1}(t-p_j) </tex> <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex> '''else''' <tex>\max F_j(r_i, t_t) = F_{ij-1} (t-p_j) </tex> '''for''' <tex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex> <tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex> Время работы данного алгоритма {{---}} <tex>O(n \sum\limits_{i=1}^n p_i)</tex>.

|statement= Существует Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>Si_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> в котором все , такое, что <tex>ni_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> задач распределены по всем временам {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>t_i (i = i_{s+1}, \ldots n), i_n </tex>, которые выбирает приведенный выше алгоритм{{---}} номера просроченных работ.|proof= Предположим, что в Пусть у нас есть некоторое оптимальное расписание раписание <tex>S</tex> входят времена . Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ. #Если работа с номером <tex> t_1 \ldots t_j, i</tex> где выполнится в <tex> j < nS</tex> и из всех возможных оптимальных расписаний мы возьмем с опозданием, топереставим эту работу в конец. При этом, у которого так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>jS</tex> будет максимально, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.Из того, как #Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в алгоритме выбирались значения для расписании <tex>t_iS</tex> следуетвыполняются вовремя, что но при этом <tex>t_{j + 1}d_i < d_j </tex> {{---}} минимальное возможное время, большее но <tex>t_j,j</tex>, стоит в которое можно начать выполнять какое-нибудь из оставшихся заданий<tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Если во время Тогда переставим работу с номером <tex>t_{j+1}</tex> в расписании так, чтобы она выполнялась после работы <tex>Si</tex> не выполняется никакого задания. Таким образом, то какое-то заданиекаждая из работ, которое могло бы выполнится находившихся в момент времени <tex>t_{S</tex> между <tex>j+1}</tex> выполняется и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>Sp_j</tex> позднееединиц времени раньше. Значит оно может быть перемещено Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в нашем расписании <tex>S</tex> , не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время .#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>t_{j+1}S</tex> без увеличения целевой функции, как оптимального решения. Таким образом, наше новое расписание тоже #*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет оптимальным. Получили противоречие с максимальностью заканчиваться на <tex>jp_j</tex>. Значит из всех оптимальных расписаний нам подходят только теединиц времени раньше, в которых то стоящая сразу послее нее работа <tex>j = n</tex>тоже будет успевать выполниться.

Заметим, что в полученном расписании будут интервалы в которые машина будет работать без остановки, и будут периоды простоя==См.также ==* [[Классификация задач]]Для того* [[1ripipsumwu|<tex> 1 \mid r_i, чтобы найти это оптимальное расписание, сведем к задаче о назначения следующим образом:p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]* [[1pi1sumwu|<tex>V_11 \mid p_{i} =1 \left mid \sum w_{i}U_{ 1,i}</tex>]]* [[R2Cmax|<tex>R2 \ldots,n \rightmid \mid C_{max}</tex>]]

<tex>V_2=\left \{ t_1,\ldots,t_n \right\}</tex>  <p><tex>c_{ij} = Источники информации ==\left \{\begin{array}{ll} f_i* P. Brucker. Scheduling Algorithms (t_j + 12006), & r_i \le t_i \\\infty5th edition, & otherwise\end{array} \rightстр.</tex></p>26 - 28