Изменения

|definition = Дано множество <mathtex>S</mathtex>, содержащие <mathtex>n</mathtex> целых чисел и целое число <mathtex>s</mathtex>. Требуется выяснить, возможно ли выбрать подмножество <mathtex>S' \subseteq S</mathtex> с суммой <mathtex>s</mathtex>: <br/><mathtex>\exists S' \subseteq S: \sum\limits_{s_{i} \in S'}{s_{i}} = s</mathtex>

Для доказательства того, что '''задаче о сумме подмножества''' (англ. ''Subset sum problem'', <mathtex>\mathrm{SSP}</mathtex>) [[NPC | NP-полной]], необходимо доказать два факта:*<mathtex>\mathrm{SSP} \in</mathtex> [[NP | <mathtex>\mathrm{NP}</mathtex>]] *<mathtex>\mathrm{SSP} \in</mathtex> [[NPH | <mathtex>\mathrm{NPH}</mathtex>]]

В качестве сертификата возьмем удовлетворяющее условию задачи множество <mathtex>S'</mathtex> с суммой <mathtex>s</mathtex>. Оно удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция проверит вхождение всех элементов <mathtex>S'</mathtex> в множество <mathtex>S</mathtex> за время <mathtex>\left\vert{S'}\right\vert \times \left\vert{S}\right\vert</mathtex>.

Сведем [[NP-полнота_задачи_о_выполнимости_булевой_формулы_в_форме_3-КНФ|3-CNF_Sat]] к задаче о сумме подмножества. Пусть задана 3-CNF формула <mathtex>\varphi</mathtex> от <mathtex>n</mathtex>переменных <mathtex>x_{i}</mathtex>, состоящая из <mathtex>k</mathtex> пар скобок <mathtex>C_{i}</mathtex>. Будем считать, не умаляя общности, что ни одна пара скобок не содержит одновременно переменную и ее отрицание. Также предположим, что каждая переменная входит хотя бы в одну пару скобок. Построим сводящую функцию <mathtex>f\!\!:\varphi \to (S,s)</mathtex>.

Для каждой переменной <mathtex>x_{i}</mathtex> и каждой пары скобок <mathtex>C_{j}</mathtex> создадим по два числа в десятичной системе счисления, каждое длиной <mathtex>n+k</mathtex> цифр. Эти числа образуют <mathtex>S</mathtex>. Также создадим число <mathtex>s</mathtex> длиной <mathtex>n+k</mathtex> цифр. Присвоим каждому разряду полученных чисел (одинаковую для всех чисел) метку, соответствующую либо переменной, либо паре скобок.Метки, соответствующие парам скобок, присвоены <mathtex>k</mathtex> младшим разрядам чисел.*В числе <mathtex>s</mathtex> все разряды, соответствующие переменным, установим <mathtex>1</mathtex>, а оставшиеся сделаем равными <mathtex>4</mathtex>.*Каждой переменной <mathtex>x_{i}</mathtex> соответствуют два числа из <mathtex>S</mathtex>: <mathtex>v_{i}</mathtex> и <mathtex>u_{i}</mathtex>. Опишем создание этих чисел. Разряд, соответствующий <mathtex>x_{i}</mathtex> установим равным <mathtex>1</mathtex>, а все остальные разряды, соответствующие переменным, установим равными <mathtex>0</mathtex>. Далее, для числа <mathtex>v_{i}</mathtex> установим все разряды, соответствующие парам скобок, содержащих <mathtex>x_{i}</mathtex>, равными <mathtex>1</mathtex>. Во все остальные "скобочные" разряды поставим <mathtex>0</mathtex>. В числе <mathtex>w_{i}</mathtex> установим все разряды, соответствующие парам скобок, содержащих <mathtex>\neg x_{i}</mathtex>, равными <mathtex>1</mathtex>, а во все остальные "скобочные" разряды поставим <mathtex>0</mathtex>.*Каждой паре скобок <mathtex>C_{j}</mathtex> соответствуют два числа из <mathtex>S</mathtex>: <mathtex>d_{i}</mathtex> и <mathtex>e_{i}</mathtex>. Оба этих числа содержат <mathtex>0</mathtex> во всех разрядах, кроме соответствующего <mathtex>C_{j}</mathtex>. В этом разряде у <mathtex>d_{i}</mathtex> поставим <mathtex>1</mathtex>, а у <mathtex>e_{i}</mathtex> {{---}} <mathtex>2</mathtex>.

*Получаемое сводящей функцией множество <mathtex>S</mathtex> состоит из <mathtex>2(n+k)</mathtex> десятичных чисел длиной <mathtex>(n+k)</mathtex> каждое, выставление каждого разряда занимает полиномиальное время. Таким образом, сведение выполняется за полиномиальное время.*Пусть формула <mathtex>\varphi</mathtex> выполнима, то есть существует набор значений <mathtex>\{y_{i}\}^{n}_{i=1}:~\varphi(y_{1}\ldots y_{n})=1 </mathtex>. И пусть <mathtex>(S,s) = f(\varphi)</mathtex>. Тогда в полученном множестве <mathtex>S</mathtex> существует подмножество с суммой <mathtex>s</mathtex>. Действительно, для каждой переменной, если <mathtex>y_{k} = 1</mathtex>, то добавим <mathtex>v_{i}</mathtex> в <mathtex>S'</mathtex>. Иначе добавим <mathtex>w_{i}</mathtex>. Теперь <mathtex>S'</mathtex> содержит уже <mathtex>n</mathtex> чисел. Заметим, что для каждого "скобочного" разряда в уже набранной части <mathtex>S'</mathtex> есть не менее одного и не более трех чисел, у которых в данном разряде стоит <mathtex>1</mathtex>. Значит для каждого соответствующего паре скобок <mathtex>C_{j}</mathtex> разряда мы сможем выбрать одно или оба числа <mathtex>d_{j}</mathtex> и <mathtex>e_{j}</mathtex> так, чтобы сумма в данном разряде совпадала с требуемой (стала равна <mathtex>4</mathtex>). Добавим их в <mathtex>S'</mathtex>. Также заметим, что суммы во всех "переменных" разрядах равны <mathtex>1</mathtex>, так как для каждого <mathtex>i</mathtex> выбиралось строго одно число из <mathtex>v_{i}</mathtex> и <mathtex>u_{i}</mathtex>. Значит, <mathtex> \sum\limits_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</mathtex>.*Пусть теперь в наборе <mathtex>S</mathtex> есть подмножество <mathtex>S':~ \sum\limits_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</mathtex>. Тогда исходная формула <mathtex>\varphi</mathtex> выполнима. Действительно, если <mathtex>v_{i} \in S'</mathtex>, то установим переменную <mathtex>x_{i}=1</mathtex>. Если же <mathtex>w_{i} \in S'</mathtex>, то <mathtex>x_{i}=0</mathtex>. Покажем, что <mathtex>\varphi(x_{1}\ldots x_{n}) = 1 </mathtex>. Действительно, так как <mathtex> \sum\limits_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</mathtex>, в каждой паре скобок хотя бы один терм равен <mathtex>1</mathtex>. Значит каждый терм равен <mathtex>1</mathtex>. А тогда и вся <mathtex>\varphi = 1</mathtex>.

Пусть исходная функция <mathtex>\varphi(x_{1} \ldots x_{4}) = (x_{1} \lor x_{2} \lor \neg x_{3}) \land (\neg x_{1} \lor x_{2} \lor x_{4})</mathtex>.Пометим разряды следующим образом (слева направо): <mathtex>x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},C_{1},C_{2}</mathtex>. Тогда:*<mathtex>v_{1} = 100010</mathtex>*<mathtex>w_{1} = 100001</mathtex>

*<mathtex>v_{2} = 010011 = 10011</mathtex>*<mathtex>w_{2} = 010000 = 10000</mathtex>

*<mathtex>v_{3} = 001000 = 1000</mathtex>*<mathtex>w_{3} = 001010 = 1010</mathtex>

*<mathtex>v_{4} = 000101 = 101</mathtex>*<mathtex>w_{4} = 000100 = 100</mathtex>

*<mathtex>d_{1} = 000010 = 10</mathtex>*<mathtex>e_{1} = 000020 = 20</mathtex>

*<mathtex>d_{2} = 000001 = 1</mathtex>*<mathtex>e_{2} = 000002 = 2</mathtex>

*<mathtex>s = 111144</mathtex>

<mathtex>S = (\bigcup\limits_{i=1}^{4} v_{i}) \cup (\bigcup\limits_{i=1}^{4} w_{i}) \cup (\bigcup\limits_{i=1}^{2} d_{i}) \cup (\bigcup\limits_{i=1}^{2} e_{i})</mathtex>

Тогда набору значений <mathtex>Y = (0,0,0,1):~ \varphi(Y) = 1</mathtex> соответствует <mathtex>S' = \{w_{1},~w_{2},~w_{3},~v_{4},~d_{1},~e_{1},~e_{2}\}</mathtex>. И действительно, <mathtex>100001 + 10000 + 1010 + 101 + 10 + 20 + 2 = 111144</mathtex>.