22
правки
Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 \rangle </tex> {{---}} два матроида на множестве элементов <tex>X</tex> с наборами независимых множеств <tex>\mathcal{I}_1</tex> и <tex>\mathcal{I}_2</tex>. Положим <tex> \mathcal{I} = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in \mathcal{I}_1, A_2 \in \mathcal{I}_2 \mathcal {g} </tex>. Множество <tex>\mathcal{I}</tex> удовлетворяет [[Объединение матроидов, доказательство того, что объединение является матроидом|аксиомам независимости]], следовательно, <tex>\langle X, \mathcal{I} \rangle </tex> {{---}} матроид, для которого <tex>\mathcal{I}</tex> служит набором независимых множеств. Этот матроид называется '''объединением матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, и обозначается <tex>M = M_1 \cup M_2 </tex>
}}
Обычно термин "объединение" «объединение» применяется, когда носители <tex>X</tex> в обоих матроидах одинаковы, однако это не является необходимым, мы можем дополнить их до объединения, заметим, что от этого <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> не перестанут быть матроидами. Если в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> носители непересекающиеся, тогда то это будет являться [[Прямая сумма матроидов|прямой суммой матроидов]].
Верны следующие утверждения про объединение матроидов:
* Операция объединения матроидов ассоциативна, следовательно, можно говорить об объединении нескольких матроидов.
* В отличие от [[Пересечение матроидов, определение, примеры|пересечения матроидов]], объединение двух '''конечных матроидов''' (англ. ''finite matroid'') матроидов всегда является матроидом, однако объединение двух '''бесконечных матроидов ''' (англ. ''infinite matroid'') не обязательно будет им.* Объединение применяется к независимым множествам, а не к матроидам в целом, то есть это операция на другом уровне, по сравнению с пересечение пересечением матроидов.
==Проверка множества на независимость==
{{Задача
|definition=
Дан матроид <tex>M = M_1 \cup M_2, M = \langle X, \mathcal{I}\rangle</tex>. Необходимо проверить, является ли некоторое множество <tex>U \in X</tex> независимым, то есть, лежит ли оно в <tex>\mathcal{I}</tex>.
}}
Для решения этой задачи преобразуем каждый элемент множества <tex>X</tex> в матроиде <tex>M_1</tex> в <tex>(x, 1)</tex>, а каждый элемент множества <tex>X</tex> в матроиде <tex>M_2</tex> в <tex>(x, 2)</tex>. Мы получили два матроида <tex>M'_1 = \langle (X \times \{1\}), \mathcal{I}_1 \rangle </tex> и <tex> M'_2 = \langle (X \times \{2\}), \mathcal{I}_2 \rangle </tex>.
Определим функцию <tex>P_1</tex> : <tex> X \times Y \rightarrow X</tex> : <tex>P_1((x, y)) = x</tex>, а для множества <tex>B \in X \times Y</tex> выполняется <tex>P_1(B) = \{A \subset X \mid \forall x \in A </tex> <tex> \exists b \in B : P_1(b) = x\}</tex>.
Затем определим два матроида, которые нам далее понадобятся:
Теперь перейдём к нашей задаче. У нас есть некоторое множество в <tex>X</tex>, и нужно проверить его независимость в объединении матроидов (то есть, лежит ли оно в <tex>\mathcal{I}</tex>).
Множество <tex>U</tex> является независимым, если [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговая функция]] <tex>r(U) = |U|</tex>.
Можно заметить, что в матроиде <tex>M</tex> выполняется <tex>r(U) = \max\limits_{A \mid A \in \mathcal{I}_{\oplus}, A \in \mathcal{I}_{P_1}, P_1(A) \subset U} |A|</tex>.
Таким образом, мы свели задачу о проверке множества на независимость в объединении к нахождению мощности максимального независимого множества в пересечении матроидов <tex>M_{\oplus}</tex> и <tex>M_{P_1}</tex>. С помощью [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов|алгоритма построения базы в пересечении матроидов]] мы будем искать найдем размер максимального подсета множества <tex>U' \mid P_1(U') = U</tex> в пересечении набора наборов независимых множеств матроидов.
== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]
== Литература Источники информации ==
* Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. {{---}} Лекции по теории графов
* Chandra Chekuri {{---}} [https://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture19.pdf '''Combinatorial Optimization''']
* Michel X. Goemans {{---}} [http://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf '''Advanced Combinatorial Optimization''']
* Wikipedia {{---}} [https://en.wikipedia.org/wiki/Matroid'''Matroid''']
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]
