Изменения

Алгоритм Краскала - алгоритм поиска минимального остовного дерева (остоваminimum spanning tree, MST) во взвешенном ориентированном связном графе.

Обозначим за <tex>T</tex> минимальный остов графа <tex>G</tex>. Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), поддерживая инвариант <tex>: на каждом шаге F \subset T</tex>можно достроить до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>EG</tex> в порядке увеличения веса ребер. Добавление очередного ребра <tex>e</tex> в <tex>F</tex> может привести к возникновению цикла в одной из компонент связности <tex>F</tex>. В этом случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. В противном случае <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex> и из [[Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>F+e \subset T</tex>можно продолжить до MST, и можно добавить поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>.<br>Из связности G следует, что после конце алгоритма <tex>F</tex> будет связным, а способ построения F не допускает возможности возникнуть циклам. Это означает, что получилось остовное дерево. После обхода всех ребер в последнего шага алгоритма <tex>\exist</tex> MST <tex>T: F\subset T</tex> включены те и только те ребра, которые продолжают его до но в <tex>TF</tex>уже нельзя добавлять ребра, значит, <tex>F=T</tex>.

Алгоритм работает за <tex>O(E(\log E+\alpha(E, V))) = O(E\log E) = O(E\log V^2) = O(E\log V)</tex>.