322
правки
Изменения
Нет описания правки
==Идея==
Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), поддерживая инвариант: на каждом шаге F можно достроить до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>EG</tex> в порядке увеличения веса ребер. Добавление очередного ребра <tex>e</tex> в <tex>F</tex> может привести к возникновению цикла в одной из компонент связности <tex>F</tex>. В этом случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. В противном случае <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex> и из [[Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>F+e</tex> можно продолжить до MST, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>.<br>
Из связности G следует, что после в конце алгоритма <tex>F</tex> будет связным, а способ построения F не допускает возможности возникнуть циклам. Это означает, что получилось остовное дерево. После последнего шага алгоритма <tex>\exists</tex> MST <tex>T: F \subset T</tex>, но в <tex>F</tex> уже нельзя добавлять ребра, значит, <tex>F=T</tex>.
==Реализация==
