Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Суффиксный массив

115 байт добавлено, 1 апрель
Псевдокод: записываем в строку s по индексу sa[i], а не по i
{{Определение
|definition=
'''Cуффиксным массивом''' (англ. ''suffix array'') строки <tex>s[1 .. n]</tex> называется массив <tex>suf</tex> целых чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>, такой, что суффикс <tex>s[suf[i]..n]</tex> — <tex>i</tex>-й в [[Лексикографический_порядок|лексикографическом ]] порядке среди всех непустых суффиксов строки <tex>s</tex>.}}
== Пример ==
tmp[sa[i]] = alphabet[i]
cur = 1
s[sa[1]] = alphabet[1]
'''for''' i = 2 '''to''' n
j = sa[i - 1]
'''if''' tmp[j + 1] > tmp[k + 1]
cur++
s[sa[i]] = alphabet[cur]
'''return''' s
== Применения ==
 
Здесь и далее <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
=== Поиск подстроки в строке ===
{{main|Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива}}
=== Подсчет Подсчёт LCP для лексикографически соседних суффиксов ===
{{main|Алгоритм Касаи и др.}}
=== Число различных подстрок в строке ===
Вычисление числа различных подстрок в строке за время <tex>O(|s| \log(|s|))</tex> и <tex>O(|s|)</tex> дополнительной памяти с использованием [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]]<ref name="ref1">[http://e-maxx.ru/algo/suffix_array#8 MAXimal :: algo :: Суффиксный массив :: Количество различных подстрок]</ref>.
=== Максимальная по длине ветвящаяся влево и вправо строка ===
==== Основные положения ====
Построим суффиксный массив строки <tex>t</tex> и посчитаем на нем [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]].
Рассмотрим какие-нибудь суффиксы Для суффикса <tex>is</tex> и символом <tex>js'</tex> строки будем обозначать индекс этого суффикса в суффиксном массиве. Рассмотрим какие-нибудь суффиксы <tex>ti</tex>. Обозначим их позиции в суффиксном массиве за и <tex>i'j</tex> и строки <tex>j't</tex>такие, причем что <tex>i' \leqslant j'</tex>.
Будем говорить, что строка <tex>s</tex> соответствует каким-нибудь суффиксам <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, если она равна максимальному префиксу этих суффиксов.
Будем говорить, что суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствуют строке <tex>s</tex>, если <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, а суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствуют позициям этих вхождений.
Введем Для произвольной строки <tex>s</tex> и двух суффиксов, соответствующих ей, введем два условия:
# <tex>\max(|i|, |j|) \geqslant \min(|i|, |j|) + |s|</tex>
# <tex>|s| = \min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k]</tex>
{{Утверждение
|author=
|statement=
Если для каких-нибудь суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответствующая им строка Строка <tex>s</tex> удовлетворяет условиям 1 и 2, то она входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясьтогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию 1.
|proof=
'''Необходимое условие:'''
 
Если строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, то один из суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> хотя бы на <tex>|s|</tex> длиннее другого. Т.е. условие 1 выполнено.
 
'''Достаточное условие:'''
 
Из того, что выполняется условие 1 следует, что один из суффиксов хотя бы на <tex>|s|</tex> длиннее другого. При этом они оба начинаются со строки <tex>s</tex>. Поэтому строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь.
}}
Условию 2 же строка удовлетворяет по построению.
}}
{{Утверждение
|author=
|statement=
Если строка <tex>s</tex> входит является максимальной входящей в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, то соответствующие ей суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> удовлетворяют условиям 1 и она удовлетворяет условию 2.|proof= Если строка Пусть это не так и <tex>|s| </tex> входит в <tex>t\min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k]</tex> дважды и (больше она быть не пересекаясьможет). Тогда получим, то один из суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> хотя бы на что <tex>|s|</tex> длиннее другого. Т.е. условие 1 выполнено. Условие 2 выполняетсяменьше, т.к. иначе наибольший общий префикс чем длина наибольшего общего префикса суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> был бы меньше , чего быть не может по построению <tex>|s|i</tex>, чего не может быть по построению и <tex>sj</tex>. Т.е. условие 2 тоже выполнено.
}}
 
 
Т.о. строка входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям 1 и 2.
==== Наивный алгоритм ====
# Переберем все пары <tex>i</tex> и <tex>j</tex> такие, что они удовлетворяют условиям 1 и 2 и возьмем среди них максимум по длине строки.
Этот алгоритм можно реализовать за <tex>O(n^3+ \mathrm{SA})</tex> или за <tex>O(n^2+ \mathrm{SA})</tex>, где <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
==== Оптимальное решение ====
===== Идея =====
Будем перебирать всевозможные подстроки <tex>s</tex> строки <tex>t</tex> такие, что они входят в <tex>t</tex> дважды и удовлетворяют условию 2 при любых <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> {{---}} суффиксы, соответствующие двум любым вхождениям <tex>s</tex> в <tex>t</tex> (т.е. не обязательно непересекающимся).Для каждой такой строки <tex>s</tex> попробуем найти <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1.
Таким образом, мы рассмотрим все строки, соответствующие условиям 1 и 2, и, следовательно, найдем ответ. Алгоритм корректный.
Заметим теперь, что искомые строки <tex>s</tex> {{---}} это префиксы суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp_klcp[k]</tex>.
Для того, чтобы найти для каждой такой строки <tex>s</tex> суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1, воспользуемся [[Стек|стеком]].
===== Алгоритм =====
# Будем идти по суффиксному массиву в порядке лексикографической сортировки суффиксов. В стеке будем хранить префиксы уже рассмотренных суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp_klcp[k']</tex> (т.е. строки <tex>s</tex>) в порядке увеличения длины. Для каждой строки из стека также будем хранить минимальный по длине суффикс <tex>i</tex> и максимальный по длине <tex>j</tex>. Обозначим за <tex>st</tex> вершину стека, а за <tex>s</tex> {{---}} текущий рассматриваемый суффикс.
# Возможны три случая:
#* <tex>lcp[|st] | = lcp[s']</tex><br>Тогда просто обновляем <tex>i</tex> и <tex>j</tex> для вершины стека.#* <tex>lcp[|st] | \geqslant lcp[s']</tex><br>В этом случае добавляем новую вершину в стек и обновляем для нее неё <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.#* <tex>lcp[|st] | \leqslant lcp[s']</tex><br>Достаем вершину из стека и ''пробрасываем'' значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex> из нее неё в новую вершину стека. Это нужно для того, чтобы не потерять значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, которые были посчитаны для строк большей длины, но так же актуальны для строк меньшей длины.
# Если в какой-то момент <tex>i</tex> и <tex>j</tex> станут удовлетворять условию 1, обновляем ответ.
===== Оценка времени работы =====
Т.к. построение суффиксного массива и подсчет подсчёт <tex>lcp</tex> выполняется за <tex>O(n)</tex> , и для каждого суффикса мы выполняем <tex>O(1)</tex> операций, то итоговое время работы <tex>O(n+ \mathrm{SA})</tex>, где <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
==См. также==
Анонимный участник

Навигация