Изменения

[[Файл:MST-example.png|right|thumb|200px|Пример минимального остовного дерева.]]==Минимальное остовное деревоНеобходимые определения==Дан Рассмотрим связный неориентированный взвешенный [[Основные определения теории графов|граф ]] <tex> G = (V, E) </tex>, где <tex>\ V </tex> {{- --}} множество [[Основные определения теории графов| вершин]], <tex>\ E </tex> {{- --}} множество [[Основные определения теории графов|ребер]]. Для каждого Вес ребра <tex>\ e \in E </tex> задана весовая определяется, как функция <tex>\ w(u, v) </tex>, которая определяет стоимость перехода из <tex>: E \ u </tex> в <tex>to \ v mathbb{R} </tex>.

Минимальным остовным деревом'''Остовное дерево''' (как вариант MSTангл. ''spanning tree'') графа <tex> G = (V, E) </tex> называется ациклическое подмножество {{---}} ациклический связный подграф данного связного неориентированного графа, в который входят все его вершины.}}{{Определение|definition ='''Минимальное остовное дерево''' (англ. ''minimum spanning tree'') графа <tex> T \subseteq G = ( V, E ) </tex> {{---}} это его ациклический связный подграф, которое соединяется в который входят все его вершины <tex> G </tex> и чей общий вес минимален. <br>Граф может содержать несколько минимальных остовных деревьев, обладающий минимальным суммарным весом ребер.

==Безопасное ребро==Пусть <tex> A G'</tex> {{--- подмножество }} подграф некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G = (V, E) </tex>, которое мы хотим полностью достроить до MST.

Ребро <tex> (u, v) \notin A G' </tex> называется '''безопасным''' (англ. ''safe edge''), если при добавлении его в <tex> A G' </tex>, <tex> A G' \cup \{ ( u, v ) \}</tex> остается подмножеством также является подграфом некоторого минимального остовного дерева графа <tex> G </tex>.}} ==Разрез=={{Определение|definition = '''Разрезом ''' (англ. ''cut'') неориентированного графа <tex> G = (V, E) </tex> называется разбиение <tex> V </tex> на два непересекающихся подмножества: <tex> S </tex> и <tex> T = V - \setminus S </tex>. Обозначается как <tex> (\langle S, V - S) </tex>.}} ==Пересечение разреза=={{Определение|definition = Мы говорим, что ребро <tex> (u, v) T \in E </tex> пересекает разрез <tex> (S, V - S) </tex>, если один из его концов оказывается в множестве <tex> S </tex>, а другой в множестве <tex> (V - S) rangle </tex>.}} ==Согласованность разреза=={{Определение|definition = Мы говорим, что разрез согласован с множеством <tex> A </tex> по ребрам, если ни одно ребро из <tex> A </tex> не пересекает разрез.}} ==Легкое ребро=={{Определение

Ребро<tex> ( u, пересекающее v ) \in E </tex> '''пересекает''' (англ. ''crosses'') разрез<tex> \langle S, является легкимT \rangle </tex>, если оно имеет минимальный вес среди всех реберодин из его концов принадлежит множеству <tex> S </tex>, пересекающих разреза другой {{---}} множеству <tex> T </tex>.

Пусть Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex>\ G = (V, E) </tex> - связный неориентированный граф с действительной весовой функцией <tex> w </tex>, определенной на <tex> : E \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex> A G' = ( V, E' ) </tex> {{--- подмножество }} подграф некоторого минимального остовного дерева <tex> E G </tex>, которое входит в некоторое минимальное остовное дерево графа <tex> G </tex>; <tex> (\langle S, V - S) T \rangle </tex> {{--- }} разрез <tex> G </tex>, согласованный с такой, что ни одно ребро из <tex> A E' </tex> по ребрамне пересекает разрез, а <tex> (u, v) </tex> {{--- легкое }} реброминимального веса среди всех ребер, пересекающее пересекающих разрез <tex> (\langle S, V - S) T \rangle </tex>. Тогда ребро <tex> e = (u, v) </tex> является безопасным для <tex> A G'</tex>.