Изменения

# <tex>\mathrm{Z}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{Z}(x) = 0</tex># <tex>\mathrm{N}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) = x'</tex># Проекция. <tex>\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{U^n_i} (x_1, ... x_n) = x_i</tex># Подстановка. Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g_1}, ... \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>. При этом <tex>\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle (x_1,...x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...x_m), ... \mathrm{g_n}(x_1,...x_m))</tex># Примитивная рекурсия. Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathrm{N^{n+1}} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1,...x_n) & , y = 0\\ \mathrm{g}(x_1,...x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...x_n,y-1)) &, y > 0 \end{array}\right.</tex># Минимизация. Если <tex>\mathrm{f}: \mathrm{N^{n+1}} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, то <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}</tex>, при этом <tex>\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...x_n)</tex> &mdash; такое минимальное число <tex>y</tex>, что <tex>\mathrm{f}(x_1,...x_n,y) = 0</tex>. Если такого <tex>y</tex> нет, результат данного примитива неопределен.

Если некоторая функция <li> <tex>\mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}</tex> может быть задана с помощью данных примитивов, то она называется рекурсивной. Если некоторую функцию можно собрать исключительно из первых 5 примитивов (то есть без использования операции минимизации), то такая функция называется примитивно{{---рекурсивной}} инкремент.</li>

<tex>\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, <tex>\mathrm{N}(x) =x'</tex>, где <tex>x' ==Примитивно рекурсивные функции===x + 1</tex>.

===== Подстановка =====Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> \mathrm{fU^n_i}(x_1,: \ldots,x_k) </tex> и <tex> k </tex> <tex>mathbb{N}^{n } \rightarrow \mathbb{N}</tex>-местных функций , <tex> \mathrm{g_iU^n_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n) = x_i</tex>. Тогда после преобразования у нас появится <tex> n </texli>-местная функция <tex>\mathrm{FS} </tex>, такая что:<tex> \mathrm{F} = \mathrm{f---}(\mathrm{g_1}(x_1,\ldots,x_n),\ldots, \mathrm{g_k}(x_1,\ldots,x_n)) подстановка.</texli>.

===== Рекурсия =====Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию Если <tex> \mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N} </tex> и <tex> (k + 2) \mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}</tex>-местную функцию , то <tex> \mathrm{hS}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N} </tex>. Тогда после преобразования у нас будет При этом <tex> \mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (k+1x_1, \ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m) </tex>-местная функция <tex> , \ldots \mathrm{gg_n} (x_1, \ldots, x_m))</tex>, которая определена следующим образом:

<li> <tex>\mathrm{gR}(x_1,\ldots,x_n,0)=\mathrm</tex> {{f---}}(x_1,\ldots,x_n)примитивная рекурсия.</texli>

Если <tex>\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}</tex> и <tex>\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, то <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}</tex>, при этом <tex>\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,\ldots,x_n,y+1)=\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n) & y = 0\\ \mathrm{hg}(x_1,\ldots,x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,\ldots, x_n,y-1))& y > 0 \end{array}\right.</tex>

При этом будем говорить, что рекурсия запускается по аргументу <li> <tex> y \mu</tex>{{---}} минимизация.</li>

'''Примитивно рекурсивными''' называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции Если некоторая функция <tex> \mathrmmathbb{IN}(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> \mathrm{P_^{n,k}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k rightarrow \le n mathbb{N}</tex>может быть задана с помощью данных примитивов(англ. ''primitive''), то она называется '''рекурсивной''' (англ.''recursive''). }}

*В дальнейшем вместо правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> \mathrm{P_F}(x,y) =\mathrm{n,kf}(\mathrm{g}(x_1y),\ldotsmathrm{h}(x,x,x_ky)) </tex> будем писать просто эквивалентна <tex> x_k \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y))) </tex>, подразумевая требуемое нам но если <tex> \mathrm{F} </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент. == Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях == ==== '''n '''-местный ноль ====<tex> \textbf 0 </tex>{{---}} функция нуля аргументов.

<tex> \textbf 0^{1}(y) ==== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ====\mathrm{Z}(y) </tex>

===== ''' n '''-местный ноль =====<tex> \textbf 0 ^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y) </tex> - функция нуля аргументов.

Выразим сначала Теперь вместо функции <tex>\mathrm{Z}(x)</tex> будем использовать константу <tex> \textbf 0^1 </tex>, обозначив ее как <tex>\mathrm{Z}(x)</tex>.

====Константа <tex> \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 M </tex>====

<tex> \textbf 0^{1}M(y+1x) = \underbrace{\mathrm{hN}(y,\textbf 0^ldots (\mathrm{N}}_{ \text{1M раз} }(y)) </tex>, где <tex> \mathrm{hZ}(x,y) = y )))</tex>

Теперь выразим <tex> \textbf M^n </tex> {{---}} <tex>n</tex>-местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом.

==== Сложение ====<tex> \textbf 0^mathrm{nsum}(x_1x,y) = \mathrm{R}\langle{}\ldots,x_mathrm{n-1f},0) = \textbf 0^mathrm{n-1g} \rangle(x,y)</tex>, где

<tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y+1) = \mathrm{h}(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) </tex>, где <tex> \mathrm{hf}(x_1,\ldots, x_n,yx) = y x </tex>

Константа <tex> \textbf M </tex> равна <tex> \mathrm{Ig}(x, y, z) = \textbfmathrm{M-1N}(z) </tex>

<tex> \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y =0\\ \mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0\end{array}\right.</tex> <tex>=\left\{\begin{array} {ll} x & y =0\\ \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y > 0 \end{array}\right.</tex> <tex>= Сложения ====\left\{\begin{array} {ll} x & y =0\\ \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y > 0 \end{array}\right. </tex> Можно преобразовать в более простой вид. 

<tex> \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{hN}(x,y,\mathrm{sum}(x,y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{I}(z) </tex>

===== Умножения =====<tex> \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1mathrm{Z}(x) </tex>

<tex> \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{hsum}(x,y,\mathrm{prod}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{sum}(x,z) </tex>

===== Вычитания =====Если <tex> x < \leqslant y </tex>, то <tex> \mathrm{sub}(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> \mathrm{sub}(x,y) = x - y </tex>.

<tex> \mathrm{sub_1}(0) = \textbf mathrm{Z}(0 ) </tex>

<tex> \mathrm{sub_1}(x+1) = \mathrm{h}(x,\mathrm{sub_1}(x)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y) = x </tex>

<tex> \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{hsub_1}(x,y,\mathrm{sub}(x,y-1)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) =\mathrm{sub_1}(z) </tex>

===== Операции сравнения =====

<tex> \mathrm{le}(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \le leqslant y </tex>, иначе <tex> \mathrm{lq}(x,y) = 0 </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{IN}(\textbf 0) </tex>

<tex> \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \textbf 0^2mathrm{Z}(x,y-1) </tex>

<tex> \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{IN}(x),y)) </tex>

===== IF =Условный оператор ====

<tex> \mathrm{if}(c+1,x,y) = \mathrm{h}(c,x,y,\mathrm{if}(c,x,y)) </tex> , где <tex> \mathrm{h}(c,x,y,d) = x </tex>

===== Деление ===== <tex> \mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor {\fracdfrac{x}{y}} \Bigr \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> \mathrm{divide}(x,0) </tex> и все связанные с делением значение функции равны каким то ,нас не интересными для насинтересует, числамии можно определить её как угодно.

Сначала определим <tex> \mathrm{divmax}(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему или равному <tex> x </tex>,которое нацело делится на <tex> y </tex>.

<tex> \mathrm{divmax}(0,y) =\textbf 0^mathrm{1Z} (y) </tex>

<tex> \mathrm{divmax}(x+1,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divmax}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{IN}(x),z),y-1),\mathrm{Idivmax}(x-1,y)),zy) </tex>,  или не формально если <tex> x+1 - y = z </tex> то <tex> \mathrm{hN}(x,y,z-1) = x+1 </tex>, иначе <tex> \mathrm{hdivmax}(x-1,y,z) = z )</tex>

<tex> \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^mathrm{1Z} (y) </tex>

<tex> \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) </tex>, где <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{IN}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{IN}(x),y))) </tex> или не формально если <tex> x+1~\vdots~y </tex>, то <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = z+1 </tex>, иначе <tex> \mathrm{h}(x,y,z) = z </tex>

===== Работа со списками фиксированной длины =====С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - того ого простого числа.Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i </tex> {{- --}} <tex>i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - того

==Теоремы===== Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций ====

*<tex> L </tex> {{- --}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту [[Машина Тьюринга|МТ]]. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным.

*<tex> R </tex> {{- --}} состояние [[Машина Тьюринга|МТ]] справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки [[Машина Тьюринга|МТ]] находятся старшие разряды.

*<tex> S </tex> {{- --}} номер текущего состояния.

*<tex> C </tex> {{- --}} символ на который указывает головка ленты.

Покажем что <tex>\mathrm{N}</tex> {{- --}} примитивно рекурсивная функция.

Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> \mathrm{T}(args) </tex> и в итоге получим что <tex> \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) </tex> {{- --}} примитивно рекурсивная функция.

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) Рекурсивные функции на википедииВикипедия {{---}} Рекурсивная функция]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function Wikipedia {{---}} Primitive recursive function]