Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Условная вероятность

1413 байт добавлено, 16:45, 4 марта 2018
м
Fix т.к.
{{Определение|id = def1|definition ='''Условная вероятность''' — вероятность одного (англ. ''conditional probability''): Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>. Условной вероятностью события <tex>A</tex> при условии, что другое произошло событие уже произошло<tex>B</tex>, называется число<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex>\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex>A, B \subset \Omega</tex>.}}== Замечания ==
* Если <tex>{P}(B) =0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:: <tex>{P}(A\cap B) = Определение {P}(A \mid B) {P}(B)</tex>.* Если события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> [[Независимые события|независимые]], то <tex>{P}(A \mid B) =</tex> <tex>\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} ={P}(A)</tex>
Пусть <tex>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</tex> — фиксированное вероятностное пространство. Пусть <tex>A,B\in \mathcal{F}</tex> суть два случайных события, причём <tex>\mathbb{P}(B)>0</tex>. Тогда условной вероятностью события <tex>A</tex> при условии события <tex>B</tex> называется: <tex>\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}</tex>.= Пример ==
== Замечания ==Пусть имеется <tex>12</tex> шариков, из которых <tex>5</tex> {{---}} чёрные, а <tex>7</tex> {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от <tex>1</tex> до <tex>5</tex>, а белые {{---}} от <tex>6</tex> до <tex>12</tex>. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.
* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:: Обозначим за <tex>\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B)</tex>.* Если событие "достали чёрный шар" и за <tex>\mathbb{P}(B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимособытие "достали шар с чётным номером".* Условная вероятность является вероятностью, то есть функция Тогда <tex>P(B) = \mathbb{Q}:\mathcaldfrac{F1}\to \mathbb{R2}</tex>, заданная формулой: так как ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>\mathbb{Q}P(A\cap B) = \mathbbdfrac{P2}{12}(A = \mid B ),\; \forall A \in \mathcaldfrac{1}{F6}</tex>,удовлетворяет всем аксиомам вероятностной мерытак как только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.
Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна <tex>{P}(A \mid B) =\dfrac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = Пример ==\dfrac{1}{3}</tex>
Если <tex>A,B</tex> — несовместимые события, то есть <tex>A \cap B = \varnothing</tex> и <tex>\mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0</tex>, то: <tex>\mathbb{P}(A \mid B) = 0</tex>и: <tex>\mathbb{P}(B \mid A) См. также== 0</tex>.
== См. также ==* [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]
* [[Формула полной вероятности]]
* [[Математическое ожидание случайной величины]]
* [[Формула Байеса]]
* [[Независимые события]]
 
== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность Википедия {{---}} Условная вероятность]
*''Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.'' Алгебра и начала математического анализа, стр. 284.
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]
263
правки

Навигация