Изменения
Дополнение(проверка уникальности минимального остова)
На каждом шаге к строящемуся остову будет добавляться ребро минимального веса, пересекающего некоторый разрез, а этот вес, как было показано в утверждении выше, равен весу ребра из <tex>K</tex>, пересекающего этот разрез.
Поэтому вес получившегося минимального остова <tex>G</tex> будет равен весу <tex>K</tex>, что и требовалось.
{{Задача
|definition=Проверка уникальности минимального остовного дерева
}}
Построим минимальное остовное дерево(MST) используя [[алгоритм Краскала]].
Рассмотрим рёбра <tex>ab</tex> вне остова, посмотрим на максимальное ребро на пути <tex>ab</tex> внутри остова:
*Если его вес совпадает с весом ребра <tex>ab</tex>, то заменив ребро из остова ребром вне остова, мы получим остов с точно таким же весом, а значит остов не уникален.
*Если его вес больше ребра из остова, значит заменив рёбра мы получим остов с большим весом, этот случай не влияет на уникальность.
*Так же его вес не может быть меньше ребра из остова, иначе мы построили не минимальный остов в начале алгоритма.
Искать максимальное ребро на пути <tex>ab</tex> в дереве мы можем при помощи алгоритма минимального общего предка(LCA), используя [[Метод двоичного подъема]].
Построим дополнительный массив <tex>D</tex>, при помощи массива двоичных подъёмов. В <tex>D[i][j]</tex> храним номер ребра с максимальным весом на пути <tex>i-root</tex>, где <tex>i</tex> - номер вершины, <tex>j</tex> - степень подъёма(как в LCA). Когда нам нужно получить максимальное ребро на пути <tex>a-b</tex>, ищем максимальное ребро на пути <tex>a-root</tex>, <tex>b-root</tex> и выбираем максимальное из них.
}}
<h4>Асимптотика</h4>
Построение минимального остовного дерева работает за <tex>O(N \log N)</tex>, нахождение максимального ребра за <tex>O(\log N)</tex>, максимальное количество рёбер вне остова не больше <tex>N</tex>, каждое ребро проверяется за <tex>O(\log N)</tex>. Построение LCA и дополнительного массива работает за <tex>O(N \log N)</tex>, остов мы построим один раз, LCA тоже один раз, каждое ребро мы не больше одного раза проверим на замену, сложность алгоритма <tex>O(N \log N)</tex>.
== См.также ==
