Изменения
Нет описания правки
|proof=
Пусть <tex>*\circ</tex> {{---}} бинарная операция в группе <tex>G</tex>.Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*\circ x</tex>.
<tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как
# Для любых <tex>x, y</tex> таких, что <tex>x \neq y</tex> верно, что <tex>g*\circ x \neq g*\circ y</tex> <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} инъекция.
# Мощность <tex>G</tex> {{---}} конечна <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} биективно, и является перестановкой.
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} композиция двух перестановок.
Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex>, так как <tex> (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} * \circ g * \circ x = x </tex>.
Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный элемент в группе, то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.
Таким образом множество всех функций <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex> {{---}} подгруппа симметрической группы, так как композиция двух функций из <tex>K</tex> не выводит из <tex>K</tex>, потому что <tex>(f_a \circ f_b)(x) = f_a(f_b(x)) = a * \circ b * \circ x = f_{a*\circ b}(x) = f_c(x) </tex>, где <tex>c = a * \circ b </tex>, значит <tex>f_a \circ f_b \in K</tex>
Рассмотрим множество <tex>K</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_{(g*\circ h)}(x)</tex>, то есть <tex>T(g)\circ T(h) = T(g*\circ h)</tex>.
Значит <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм.
#<tex>T</tex> {{---}} инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*\circ x^{-1} = f_{g'}(x)*\circ x^{-1} = g'</tex>.
#Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>.
