Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Кэли

774 байта добавлено, 06:31, 8 января 2017
Нет описания правки
|about=о вложении любой конечной группы в группу перестановок
|statement=
Любая конечная группа <tex>G</tex> порядка <tex>n</tex> изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (подгруппе симметрической группегруппы <tex>S_n</tex>).
|proof=
Пусть <tex>\circ</tex> {{---}} бинарная операция в конечной группе <tex>G=\{g_1, g_2,...,g_n\}</tex>.Рассмотрим некоторый элемент Для каждого элемента <tex>g \in G</tex> и функцию построим соответствующую перестановку <tex>f_g \in S_n: G </tex><tex> f_g=\begin{bmatrix} g_1 & g_2 & ... & g_n \\ f_g(g_1) & f_g(g_2) & ... & f_g(g_n) \rightarrow Gend{bmatrix}, </tex> где <tex>f_g(x) = g \circ x</tex>. 
<tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как
# Для любых <tex>xa, yb\in G</tex> таких, что <tex>x a \neq yb</tex> верно, что <tex>g \circ x a \neq g \circ yb</tex> <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} инъекция.
# Мощность <tex>G</tex> {{---}} конечна <tex>\Rightarrow f_g</tex> {{---}} биективно, и является перестановкой.
Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex>, так как <tex> (f_{g^{-1}} \circ f_g) (x) = f_{g^{-1}}(f_g (x)) =g^{-1} \circ g \circ x = x </tex>.
Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный элемент в группе, то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.
Таким образом Докажем,что множество всех функций перестановок <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex> {{---}} подгруппа симметрической группы<tex>S_n</tex>. Пусть <tex>g_i, так g_j\in G</tex>.Рассмотрим перестановку <tex>(f_{g_i} \circ f_{g_j})(x)</tex>. Так как композиция двух функций из <tex>KG</tex> не выводит из {{---}} группа, то для любого <tex>Kx\in G</tex>, потому что верно <tex>(f_a f_{g_i} \circ f_bf_{g_j})(x) = f_af_{g_i}(f_bf_{g_j}(x)) = a {g_i} \circ b {g_j} \circ x = f_{a g_i \circ bg_j}(x) = f_c(x) </tex>, где  Так как <tex>c G</tex> {{---}} группа, то <tex>g_i \circ g_j = a g_k\in G</tex> и <tex>f_{g_i \circ b g_j}=f_{g_k}</tex>, значит откуда <tex>f_a f_{g_i} \circ f_b f_{g_j}\in K</tex>. Значит, <tex>K</tex> {{---}} подгруппа группы <tex>S_n</tex>.
Рассмотрим множество <tex>K</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию отображение <tex>T \varphi : G \rightarrow K,\</tex>, Tкоторое переводит элемент <tex>g\in G</tex> в элемент <tex>\varphi(xg) = f_xf_{g^\prime}\in K</tex>, где <tex>{g^\prime}</tex> симметричен элементу <tex>g</tex> в группе <tex>G</tex>.  Заметим, что для всех #Отображение <tex>\varphi </tex> взаимно однозначно.#Для любых <tex>x g_i,g_j\in G </tex> верно<tex>\quadvarphi (f_g g_i \circ f_h)(xg_j) = f_{(g g_i \circ hg_j)^\prime}(x)= </tex>, то есть <tex>T(g)\circ T(h) = T(g \circ h)</tex>.
Значит <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм.
65
правок

Навигация