96
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема|author=Кэли(''Cayley'')|about=Линейностьо вложении любой конечной группы в группу перестановок|statement=Любая конечная группа <tex>G</tex> изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (симметрической группе). |proof=Воспользуемся определением линейной Пусть <tex>*</tex> - бинарная операция в группе <tex>G</tex>. Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x</tex>. Вследствие существования обратного к <tex>g</tex> элемента <tex>g^{-1}</tex>, у этой функции есть обратная к ней <tex>f^{-1}_g</tex> , и поэтому <tex>f_g</tex> - перестановка. Пусть <tex>\circ</tex> - композиция двух перестановок.Рассмотрим множество <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и докажем линейность математического ожыдания<tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>.Заметим, чтоЛиненйная функцыя ета функцыя которая удовлетворяет следующим свойствам*<tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>. Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) =f_g(f_h(x)) =Пример использованияf_g(h * x) =g*(h*x) =(g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>. *<tex>T</tex> - инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'</tex>.*Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>. То есть <tex>T</tex> - гомоморфизм, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex>установлен. }} ==Источники==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]
