Изменения
→Вычислимые и частично рекурсивные функции
|statement= Множества вычислимых и частично рекурсивных функций совпадают.
|proof=
Программа вычисляющая частично рекурсивную функцию легко пишется на любом языке программирования. Поэтому нам достаточно показать что любая вычислимая функция примитивно рекурсивная. Функции <tex> IN </tex>, <tex> OUT </tex>, <tex> N </tex>, и как представляется состояние машины Тюринга описано в доказательстве [[Рекурсивные Примитивно рекурсивные функции#Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций|теоремы о примитивной рекурсивности вычислимых функций]].
Функция <tex> \mathrm{T([L,R,S,C])}</tex> возвращает минимальное число шагов за которое программа вычисляющая нашу функцию попадет в состояние <tex> \mathrm{Accepted} </tex>. Покажем что она частично рекурсивная. <tex> \mathrm{T([L,R,S,C]) = \mu t (p_2(N([L,R,S,C],t)) = Accepted)} </tex>, где <tex> p_i </tex> — взятие <tex>i</tex>-того элемента списка. Операции сравнения здесь реализованы также как и примитивно рекурсивных функциях,но если равенство выполняется то функция проверки на равенство возвращает <tex> 0 </tex>, иначе <tex> 1 </tex>.
В итоге <tex> \mathrm{F(args) = OUT(N(IN(args), T(IN(args)))} </tex> - частично рекурсивная функция.
