Изменения
→Классы #P и #P-Complete
}}
Вопрос, являются ли задачи из <tex>\#P</tex> //эффективно разрешимыми// остается открытым. Класс <tex>FP</tex> - аналог класса <tex>P</tex> для задач, ответ на которые представляется не битовым значением, а натуральным числом. Подсчет числа сертификатов как минимум столь же сложно, как и проверка наличия сертификата, а значит, если доказать равенство <tex>\#P=FP</tex>, то автоматически будет доказано <tex>NP=P</tex>. Однако из <tex>NP=P</tex> вовсе не следует <tex>\#P=FP</tex>. Если <tex>PSPACE = P</tex>, то <tex>\#P=FP</tex>, так как подсчет числа сертификатов может быть выполнен за полиномиальную память.
== Примеры задач из #P ==
*[[#SAT]]
* <tex>\#CYCLE</tex> - имея ориентированный граф <tex>G</tex>, посчитать число простых циклов. Аналогичная задача, отвечающая на вопрос, существует ли в заданном ориентированном графе простой цикл, может быть решена за линейное время при помощи поиска в ширину. Проблема подсчета значительно сложнее.
{{Теорема
|statement=
Если <tex>\#CYCLE \in FP</tex>, тогда <tex>P=NP</tex>.
|proof=
[[Файл:dir_grap.png|thumb|300px| <tex>deg^{-}+deg^{+}=10=2\cdot |E|</tex>]]
Для графа <tex>G</tex> с n вершинами построим граф <tex>G'</tex> такой, что в <tex>G</tex> есть Гамильтонов цикл тогда и только тогда, когда в <tex>G'</tex> есть <tex>n^{n^2}</tex> циклов. Чтобы получить <tex>G'</tex>, заменим каждое ребро <tex>(u,v)</tex> из <tex>G</tex> на блок <tex>H</tex>. Блок состоит из <tex>m = n * \log{n} + 1</tex> уровней. <tex>G</tex> представляет из себя ацикличный граф, а значит циклы в <tex>G'</tex> соответствуют циклам в <tex>G</tex>. Кроме того, существует <tex>2^m</tex> различных путей между <tex>u</tex> и <tex>v</tex> внутри блока, следовательно простому циклу длины <tex>l</tex> в <tex>G</tex> соответствует цикл длины <tex>2^{(ml)}</tex> в <tex>G'</tex>.
<br>
Заметим, что если граф <tex>G</tex> содержит гамильтонов цикл, то в <tex>G'</tex> существует минимум <tex>2^{m(n-1)} > n^{n^2}</tex> циклов.
<br>
Проверим в обратную сторону. Если в <tex>G</tex> не существует Гамильтонова цикла, то самый длинный цикл в <tex>G</tex> имеет длину не больше <tex>n-1</tex> и число циклов не может превысить <tex>n^{n-1}</tex>. Таким образом, в <tex>G'</tex> будет не более чем <tex>(2^m)^{n-1} * n^{n-1} < n^{n^2}</tex> циклов.му входящих и на единицу сумму исходящих степеней. Таким образом, сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа чётна и равна удвоенному числу рёбер.
<br>
Преобразование графа <tex>G</tex> в <tex>G'</tex> можно выполнить за полином от количества вершин. Таким образом, если <tex>\#CYCLE \in FP</tex>, тогда сразу же <tex>HAM \in P</tex>. А так как<tex> HAM \in NP</tex>, то <tex>NP = P</tex>.
}}
== Примеры задач из <tex>\#P</tex> ==
*[[#SAT]]
* <tex>\#CYCLE</tex>
