64
правки
Изменения
Нет описания правки
Троллейбусный (трамвайный) билет имеет номер, состоящий из шести цифр. Билет считается счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх, например, <tex>024321</tex>. Известно, что количество счастливых билетов из шести цифр равно <tex>55252</tex>.
{{Задача
|definition = Для натурального <tex>n</tex> найти количество <tex>2n</tex>-значных счастливых билетов (<tex>L_n</tex>).
}}
__TOC__
== Решение с помощью динамического программирования ==
Обозначим количество <tex>n</tex>-значных чисел с суммой <tex>k</tex> как <tex>D_n^k</tex> (число может содержать ведущие нули). <tex>2n</tex>-значный счастливый билет состоит из двух частей: левой (<tex>n</tex> цифр) и правой (тоже <tex>n</tex> цифр), причём в обеих частях сумма цифр одинакова. Количество счастливых билетов с суммой <tex>k</tex> в одной из частей равно <tex>(D_n^k)^2</tex>. Значит общее число билетов равно <tex>L_n = \sum_{k=0}^{9n} (D_{n}^{k})^2</tex>. Также можно сопоставить счастливому билету <tex>a_1a_2\ldots a_n b_1b_2 \ldots b_n</tex> <tex>2n</tex>-значное число с суммой <tex>9n</tex>: <tex>a_1a_2\ldots a_n (9-b_1)(9-b_2) \ldots (9-b_n)</tex>, причем это соответствие взаимно-однозначно, поэтому <tex>L_n=D_{2n}^{9n}</tex>.
Осталось научиться вычислять <tex>D_n^k</tex>. Положим <tex>D_0^k=\begin{cases}1,&k=0\\0,&k>0\end{cases}</tex>. При <tex>n>0</tex> количество <tex>n</tex>-значных чисел с суммой цифр <tex>k</tex> можно выразить через количество <tex>(n-1)</tex>-значных чисел, добавляя к ним <tex>n</tex>-ю цифру, которая может быть равна <tex>0, 1, \ldots, 9</tex>: <tex>D_n^k=\sum_{j=0}^{k}D_{n-1}^{k-j}</tex>.
G(z) = 1+z+\ldots+z^9 = \dfrac{1-z^{10}}{1-z}
</tex> и получим, что <tex>G^{2n}(z)=(1-z^{10})^{2n}(1-z)^{-2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}(-z^{10})^k\sum_{j=0}^{\infty}\binom{-2n}{j}(-z)^k</tex>. Так как <tex>\binom{-2n}{k}=(-1)^k\binom{2n+k-1}{k}</tex>, <tex>[z^{9n}]G^{2n}(z)=\sum_{j=0}^{\lfloor{9n/10}\rfloor}(-1)^j\binom{2n}{j}\binom{11n-10j-1}{9n-10j}</tex>, что при <tex>n=3</tex> дает <tex>\binom{6}{0}\binom{32}{27}-\binom{6}{1}\binom{22}{17}+\binom{6}{2}\binom{12}{7}=55252</tex>.
== Источники информации ==
[http://www.genfunc.ru/theory/lucky/]
== См. также ==
[[Производящая функция]]
[[Динамическое программирование]]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Комбинаторика]]
