Изменения

Попарно независимые события и события<tex> B=\{1, независимые в совокупности - это не одно и то же. Пример: тетраэдр Бернштейна.Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета2, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А 3\}\ p(соответственно, В, СB) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цвета. =\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

Вероятность каждого из этих событий равна <tex> A \dfrac {1}{2} ,</tex> так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна <tex> \dfrac {1}{4} ,</tex> так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как <tex>\dfrac{1}{4}cap B =\dfrac{1}{2\}\cdotneq \dfrac{1}{2},emptyset </tex> то все , значит эти события попарно независимыне несовместны.

Но <tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>  <tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex> Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)p(B)</tex>, значит эти события не независимы.*Карты<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти  <tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства <tex> A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны. <tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства <tex>p(A)p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex> Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A)p(B)</tex>, значит эти события независимы.*Честная монета <tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла <tex> B=\{1\}\ </tex> {{---}} выпадение решки <tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.*Тетраэдр БернштейнаПопарно независимые события и события, независимые в совокупности - это не одно и то же. Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. <tex> A </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей красный цвет <tex> B </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей синий цвет <tex> C </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей зеленый цвет Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна: <tex>p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}</tex> Так как только одна грань из четырёх содержит два цвета, вероятность пересечения любых двух из них равна: <tex>p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} </tex> <tex>p(A)p(B)=p(A)p(C)=p(B)p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex> Все события попарно независимы, так как: <tex>p(A \cap B)=p(A)p(B)</tex> <tex>p(A \cap C)=p(A)p(C)</tex> <tex>p(B \cap C)=p(B)p(C)</tex> Вероятность пересечения всех трёх тоже равна : <tex> p(A \cap B \cap C)=\dfrac {1}{4} ,</tex> а не  <tex> p(A)p(B)p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac {1}{8} ,</tex> т.е. события  Cобытия не являются независимыми в совокупности., так как: <tex>p(A \cap B \cap C) \neq p(A)p(B)p(C)</tex>