Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Пример 3
==Дифференцирование и интегрирование производящих рядовфункций==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> - степенной ряд— [[Производящая функция | производящая функция]].
''ПроизводнаяПроизводной'' этого степенного ряда выражается формулойэтой функции называется функция
:<tex>A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots</tex>
''ИнтегралИнтегралом'' этого степенного ряда выражается формулойназывается функция
:<tex>\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots</tex>
}}
Операция дифференцирования обратна операции интегрирования:
:<tex>(\int\limits A(s))' = A(s)</tex>.
Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции.
:<tex> \int\limits A'(s) = A(s) - A(0) a_0</tex>.
===Замечание===
Для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом
:<tex> \int\limits A(s) = \int\limits_{0}^{s} A(\xi) d \xi </tex>.
}}
==Радиусы сходимостиПримеры== ===Пример <tex>1</tex>=== Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функцию :<tex> f(s) = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} s + \dfrac{1}{3 \times 4} s^2 + \dots + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} s^n + \dots </tex> Умножая функцию <tex> f </tex> на <tex> s^2 </tex> и дифференцируя, получаем :<tex>(s^2 f(s))' = s + \dfrac{1}{2} s^2 + \dfrac{1}{3} s^3 + \dots = \ln \dfrac{1}{1 - s}</tex>, откуда
:<tex> f(s) = s^{-2} \int\limits \ln \dfrac{1}{1 - s} = s^{Теорема-1} ((s - 1) \ln \dfrac{1}{1 - s} + s) </tex>. |statement= Ряд==Пример <tex>2</tex>=== Используя только что полученные знания о дифференцировании и интегрировании производящих функций, попробуем решить следующее рекуррентное уравнение: :<tex> g_0 = 1</tex>:<tex> g_1 = 1</tex>:<tex> g_n = g_{n - 1} + 2 g_{n - 2} + (-1)^n</tex> Умножим обе части всех равенств на <tex>z</tex> в соответствующей степени и просуммируем: :<tex> z^0 g_0 = 1</tex>:<tex> z^1 g_1 = z</tex>:<tex> z^n g_n = z^n g_{n-1} + 2 z^n g_{n-2} + (-1)^n z^n</tex> :<tex> g_0 + g_1 z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_n z^n = 1 + z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^n + 2 \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^n + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} (-1)^n z^n </tex> Левая часть <tex> G(z) = g_0 + g_1 z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_n z^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n </tex> представляет собой производящую функцию в бесконечном виде. Попытаемся выразить правую часть через <tex>G(z)</tex>. Рассмотрим каждое слагаемое: :<tex>\sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^n = z \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^{n - 1} = z (G(z) - g_0) = z(G(z) - 1)</tex> :<tex>\sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^n = z^2 \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^{n - 2} = z^2 G(z)</tex> :<tex>\sum\limits_{n = 2}^{\infty} (-1)^n z^n = z^2 - z^4 + z^6 - z^8 + \dots = 1 - z + z^2 -z^4 + z^6 -z^8 + \dots -1 + z = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^n - 1 + z = \dfrac{1}{1 + z} - 1 + z</tex> Составляем уравнение: :<tex>G(z) = 1 + z + z(G(z) - 1) + 2 z^2 G(z) + \dfrac{1}{1 + z} - 1 + z</tex>:<tex>G(z) (1 - z - 2 z^2) = \dfrac{1}{1 + z} + z</tex>:<tex>G(z) = \dfrac{1 + z + z^2}{(1 + z) (1 - z - 2 z^2)}</tex>:<tex>G(z) = \dfrac{1 + z + z^2}{(1 + z)^2 (1 - 2 z)}</tex> Это и есть производящая функция для заданного рекуррентного уравнения. Раскладывая её на простейшие дроби (например, методом неопределенных коэффициентов или методом подстановки различных значений <tex>z</tex>), получаем: :<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(1 + z)^2} - \dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{1 + z} + \dfrac{7}{9} \times \dfrac{1}{1 - 2 z}</tex> Второе и третье слагаемые легко раскладываются в степенной ряд, а вот с первым придётся чуть повозиться. Используя правило дифференцирования производящих функций имеем: :<tex>\dfrac{1}{(1 + z)^2} = (- \dfrac{1}{1 + z})' = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} z^n)' = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} n z^{n - 1} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n</tex> Собственно всё. Раскладываем каждое слагаемое в степенной ряд и получаем ответ: <tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n - \dfrac{1}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^n + \dfrac{7}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} 2^n z^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})) z^n</tex> Мы искали <tex>G(z)</tex> в виде <tex>G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n</tex>, значит :<tex>g_n = \dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})</tex>
===Пример <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots3</tex>===
имеет тот же интервал сходимости, что и рядВычислим обратную функцию к экспоненте. Для этого мы воспользуемся [[Производящая функция#Приложения | разложением экспоненты]]:
:<tex>e^z = \intsum\limits A(s) limits_{z = a_0 s + a_1 \dfrac{s0}^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3infty}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1!} + \dotsz^n</tex>}}
{{Теорема|statement= РядРазложение экспоненты начинается с <tex>1</tex>, поэтому аргумент логарифма нужно сдвинуть в <tex>1</tex>:
:<tex>A\ln(s1 + t) = a_0 l_1 t + a_1 s l_2 t^2 + a_2 sl_3 t^2 3 + \dots (1)</tex>
имеет тот же интервал сходимости(свободный член в разложении равен <tex>0</tex>, поскольку <tex>\ln(1) = 0</tex>). Для вычисления коэффициентов разложения логарифма воспользуемся тем, что производная функции и рядобратной к ней в произведении дают <tex>1</tex>. Поскольку <tex>\dfrac{d}{ds} e^s = e^s</tex>, получаем
:<tex>A'\dfrac{d}{dt} \ln(s1 + t) = a_1 \dfrac{1}{1 + 2 a_2 s t} = 1 - t + 3 a_3 st^2 - t^3 + \dots + n a_n st^{n4 -1} + \dots (2)</tex>,
|proof=откуда, интегрируя,
Пусть <tex> x_0 </tex> - произвольная точка интервала сходимости ряда :<tex> \ln(1+ t) = t - \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>, т.е. <tex> |x_0| < R </tex>. Возьмем число <tex> r </tex>, удовлетворяющее условию <tex> |x_0| < r < R </tex>. Оценим модуль общего члена ряда <tex> (5) </tex> в рассматриваемой точке <tex> x_0 </tex>. Имеем
<tex> |n a_n x_0^{n - 1}| \leqslant |a_n r^n| \dfrac{n |x_0|^{n-1}}{r^n} </tex>Чаще используется следующий вариант:
Ряд :<tex> -\ln(1- t) </tex> абсолютно сходится в точке <tex> r </tex>, т.е. сходится ряд <tex> = \sumln \limits_dfrac{n 1}{1 - t} = 0t + \dfrac{1}^{\infty2} |a_n| rt^n </tex> и, следовательно, <tex> 2 + \lim\limits_dfrac{n \to \infty1} |a_n| r^n = 0 </tex>. Значит последовательность <tex> \{|a_n| r^n\3} </tex> ограничена, т.е. <tex> |a_n| rt^n < M </tex> при <tex> n 3 + \in \mathbbdfrac{N1} </tex>, где <tex> M \in \mathbb{R4} t^4 + \dots</tex>. Учитывая это, находим
<tex> |n a_n x_0^{n - 1}| \leqslant M \dfrac{n |x_0|^{n - 1}}{r^n} </tex>==Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции==
Ряд <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n Теорема|x_0about= О существовании и единственности решения|^{n - 1}}{r^n} = \sum\limits_{n statement= 1}^{\infty} b_n </tex> сходится, так какРассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
:<tex> f'(s) = F(s, f(s)) \lim\limits_text{n \to \infty} \dfractext{b_{n + 1}}\text{b_n} = \lim\limits_text{n \to \infty} \dfractext{} (n + 1)}{n} \dfrac{|x_0|}{r} = \dfrac{|x_0|}{r} < 1 </tex>.
Используя теорему сравненияна производящую функцию <tex>f(s)</tex>, получаем сходимость рядагде <tex>F = F(s, t)</tex> — [[Производящие функции нескольких переменных | производящая функция двух переменных]], являющаяся многочленом по <tex>t</tex> (т.е. степень <tex>F</tex> по <tex>t</tex> конечна). Тогда для каждого <tex>f_0</tex> уравнение <tex>(1)</tex> имеет единственное решение, удовлетворяющее условию <tex>f(0) = f_0</tex>
|proof=Доказательство проводится обычным способом последовательного нахождения коэффициентов функции <tex>f</tex>. Пусть степень <tex>F</tex> по <tex>t</tex> равна <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} |n a_n x_0^{n - 1}| </tex>и
или, что то же, абсолютную сходимость ряда :<tex> \sum\limits_F(s, t) = (F_{n = 100}^+ F_{\infty10} n a_n x_0^s + F_{n - 120} </tex> в точке <tex> x_0 </tex>. В силу произвольности выбора точки <tex> x_0 </tex> из интервала <tex> (-R, R) </tex>, заключаем, что ряд <tex> (s^2+ \dots) </tex> имеет интервал сходимости не меньший интервала сходимости ряда <tex> (1) </tex>. Докажем, что интервал сходимости ряда <tex> + (F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2+ \dots) </tex> не больше интервала сходимости ряда <tex> (1) </tex>. Допустим противное, а именно допустим, что ряд <tex> t + \dots + (F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2+ \dots) </tex> сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>t^n, где <tex> R_1 > R </tex>. Так как ряд <tex> f(2s) </tex> степенной, его можно почленно интегрировать в пределах от <tex> 0 </tex> до <tex> x </tex>, где <tex> |x| < R_1 </tex>. Ряд, полученный в результате интегрирования, сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>. Он отличается от ряда <tex> (1) </tex> только на постоянное слагаемое. Следовательно, и ряд <tex> (= f_0 + f_1 s + f_2 s^2) </tex> сходится в интервале <tex> (-R_1, R_1) </tex>, что противоречит допущению <tex> R_1 > R + \dots</tex>.
}}Приравнивая коэффициенты при <tex>s^0</tex> в левой и правой частях уравнения <tex>(1)</tex>
==Примеры==Возьмем с первого слагаемого:
===Пример 1===:<tex>(F_{00} + F_{10} s + F_{20} s^2 + \dots) \rightarrow F_{00}</tex>
Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функциюВозьмем со второго слагаемого:
:<tex> f(s) = \dfracF_{101}+ F_{1 \times 211} s + \dfracF_{121}{s^2 + \times 3dots) t = (F_{01} s + \dfracF_{111}s + F_{3 \times 421} s^2 + \dots + \dfrac{1}{) (n f_0 + 1)(n f_1 s + 2)} f_2 s^n 2 + \dots ) \rightarrow F_{01} f_0</tex>
Умножая функцию Возьмем с <tex> f n</tex> на <tex> s^2 </tex> и дифференцируя, получаем-го слагаемого:
:<tex>(s^2 f(s))' = s F_{0n} + \dfracF_{11n}s + F_{22n} s^2 + \dfracdots) t^n = (F_{10n}+ F_{1n} s + F_{32n} s^3 2 + \dots = \ln) (1 - f_0 + f_1 s+ f_2 s^2 + \dots)^n \rightarrow F_{-10n}f_0^n</tex>,
откудаИтого выходит:
:<tex> f(s) f_1 = s^F_{-200} \int\limits \ln (1 - s)^+ F_{-101} = s^f_0 + \dots + F_{-10n} ((s - 1) \ln (1 - s)f_0^{-1} + s) n</tex>.
Аналогично, равенство коэффициентов при <tex>s^1</tex> дает
===Пример :<tex>2f_2 ===F_{10} + F_{01} f_1 + F_{11} f_0 + \dots + F_{0n} f_0^{n - 1} f_1 + F_{1n} f_0^n</tex>
Найдем представление в виде степенного ряда функции Вообще, <tex> \ln (1 + x), |x| < 1 f_n</tex>.находится из уравнения
Воспользуемся разложением:<tex>n f_n = \dots \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (2)</tex>,
где точками обозначен многочлен от коэффициентов функции <tex> F</tex> и коэффициентов <tex>f_0, f_1, \dfracdots, f_{n-1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \sum\limits_{</tex> функции <tex>f</tex>. При каждом <tex>n = > 0}^{\infty} </tex> уравнение <tex>(2)</tex> имеет единственное решение. Значит уравнение <tex>(-1)^n x^n, |x| < 1 /tex> имеет однозначное решение для каждого <tex>f_0</tex>.
Интегрируя этот ряд почленно на отрезке <tex> [0, x] </tex>, находим}}
<tex> \ln (1 + x) = \int\limits_{0}^{x} \dfrac{dt}{1 + t} = \int\limits_{0}^{x} (1 - t + t^2 - t^3 + \dots)dt См. также= x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \dots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{n + 1}}{n + 1} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n + 1} x^n}{n} </tex>* [[Производящая функция]]* [[Производящие функции нескольких переменных]]* [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]
==Источники информации==
* ''Ландо С. К.'', Лекции о производящих функциях. {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007. {{---}} 144с. ISBN 978-5-94057-042-4
* [httphttps://wwwhabrahabr.apmathru/post/204258/ Производящие функции — туда и обратно] (10.06.2017) * [https://math.spbuhse.ru/rudata/2011/02/education18/final1208528471/question06DiscrMath09.pdf Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцированиеЭлементы перечислительной комбинаторики] (0710.06.2017)
* [http[Категория://www.math24.ru/%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B8-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%B2.html Дифференцирование Дискретная математика и интегрирование степенных рядовалгоритмы]][[Категория: Производящие функции]]
560
правок

Навигация