18
правок
Изменения
добавление теоремы о решении обыкновенных дифференциальных уравнений
:<tex>g_n = \dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})</tex>
==Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции==
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
:<tex>f'(s) = F(s, f(s)) (1)</tex>
на производящую функцию <tex>f(s)</tex>, где <tex>F = F(s, t)</tex> --- производящая функция двух переменных, являющаяся многочленом по <tex>t</tex> (т.е. степень <tex>F</tex> по <tex>t</tex> конечна). Тогда для каждого <tex>f_0</tex> уравнение <tex>(1)</tex> имеет единственное решение, удовлетворяющее условию <tex>f(0) = f_0</tex>
|proof=
Доказательство проводится обычным способом последовательного нахождения коэффициентов функции <tex>f</tex>. Пусть степень <tex>F</tex> по <tex>t</tex> равна <tex>n</tex> и
:<tex>F(s, t) = (F_{00} + F_{10} s + F_{20} s^2 + \dots) + (F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) t + \dots + (F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) t^n, f(s) = f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots</tex>
Приравнивая коэффициенты при <tex>s^0</tex> в левой и правой частях уравнения <tex>(1)</tex>, получаем
:<tex>f_1 = F_{00} + F_{01} f_0 + \dots + F_{0n} f_0^n</tex>
Аналогично, равенство коэффициентов при <tex>s^1</tex> дает
:<tex>2 f_2 = F_{10} + F_{01} f_1 + F_{11} f_0 + \dots + F_{0n} f_0^{n - 1} f_1 + F_{1n} f_0^n</tex>
Вообще, <tex>f_n</tex> находится из уравнения
:<tex>n f_n = \dots (2)</tex>,
где точками обозначен многочлен от коэффициентов функции F и коэффициентов <tex>f_0, f_1, \dots, f_n-1</tex> функции <tex>f</tex>. При каждом <tex>n > 0</tex> уравнение <tex>(2)</tex> имеет единственное решение, и теорема доказана.
}}
==См. также==
