64
правки
Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим функцию <tex>f(\phi)=\dfrac{\sin(10\phi)}{\sin\phi}</tex> на <tex>\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]</tex>. Вне отрезка <tex>\left[\dfrac{-\pi}{10},\dfrac{\pi}{10}\right]
f(\phi) \leqslant \dfrac{1}{\sin\frac{\pi}{10}}\approx 3</tex>, значит интеграл по этой части не больше <tex>3^6\pi \approx 2100</tex>, основная часть сосредоточена на <tex>\left[-\dfrac{\pi}{10},\dfrac{\pi}{10}\right]</tex>. Оценим интеграл по этому промежутку с помощью метода стационарной фазы. <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%B7%D1%8B Метод стационарной фазы — Википедия]</ref> Этот метод позволяет оценить значение интеграла
: <tex>\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{10}}f^td\phi=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{10}}e^{t\ln{f}}d\phi</tex>. При <tex>t \rightarrow \infty</tex> значение интеграла определяется поведением его фазы, т.е. <tex>\ln{f}</tex>, в окрестности стационарной точки <tex>0</tex> (точки, где <tex>(\ln{f})'=0</tex>, или, что то же самое, <tex>f'=0</tex>). Вблизи <tex>0 </tex> <tex>f(\phi) \approx 10 (1 - \frac{33}{2}\phi^2)</tex>, а <tex>\ln{f}(\phi) \approx \ln 10 - \frac{33}{2}\phi^2</tex>. При больших <tex>t </tex> получим
: <tex>\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{10}}e^{t(\ln 10 - \frac{33}{2}\phi^2)}d\phi=10^t \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{10}}e^{-\frac{33}{2}\phi^2}d\phi=\sqrt{\dfrac{\pi}{66t}}erf\left(\sqrt{\dfrac{33t}{2}\phi}\right)\bigg\rvert_{-\frac{\pi}{10}}^{\frac{\pi}{10}}</tex>, где <tex>erf(z)</tex> {{---}} функция ошибок <ref>[http://mathworld.wolfram.com/Erf.html Erf -- from Wolfram MathWorld]</ref>. Заметим, что при <tex>z > 2 </tex> <tex>erf(z) \approx 1</tex>, поэтому интеграл примерно равен <tex>10^t \sqrt{\dfrac{2\pi}{33t}}</tex>.
Полагая <tex>t=6</tex> и вспоминая выражение для <tex>p_0</tex>, получаем приближенное равенство:
|statement=При <tex>N \geqslant 28</tex> и любом <tex>\phi_0</tex> <tex>L_n = \dfrac{1}{N}\sum\limits_0^{N-1}g(\phi_0+\dfrac{2\pi k}{N})</tex>
|proof=<tex>g(\phi)=H(e^{i\phi})=\sum\limits_{j=-27}^{27}a_je^{ij\phi}</tex>, где <tex>a_j</tex> {{---}} коэффициенты многочлена <tex>H</tex>. <tex>g(\phi)=a_0+\sum\limits_{j=1}^{27}a_j(e^{ij\phi}+e^{-ij\phi})</tex>. Тогда искомая сумма равна <tex>\dfrac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\sum\limits_{j=1}^{27}a_j(e^{ij(\phi_0+\frac{2\pi k}{N}} + e^{-ij(\phi_0+\frac{2\pi k}{N} )})= \dfrac{1}{N}e^{ij\phi_0}\sum\limits_{j=1}^{27}a_j\sum\limits_{k=0}^{N-1}(e^{ij\frac{2\pi k}{N}} + e^{-ij\frac{2\pi k}{N} })</tex>. Рассмотрим внутреннюю сумму:
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N-1}(e^{\frac{2ijk\pi}{N}}+e^{-\frac{2ijk\pi}{N}})=\dfrac{1-e^{2ij\pi}}{1-e^{\frac{2ij\pi}{N}}}+\dfrac{1-e^{-2ij\pi}}{1-e^{-\frac{2ij\pi}{N}}}=0</tex> (можем воспользоваться формулой для суммы геометрической прогрессии, т.к. ее знаменатель не равен <tex>1</tex>: <tex>N>j \implies e^{\frac{2ij\pi}{N}}\neq 1, e^{-\frac{2ij\pi}{N}}\neq 1</tex>)
}}
