Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Centroid decomposition

5 байт убрано, 02:20, 14 июня 2017
Введение
Задача 1
{{Задача
|definition = Есть массив <tex>a[]</tex> положительных целых чисел из <tex>n</tex> элементов и числа <tex>W \geqslant 0</tex> и <tex>l</tex> . Требуется найти количество пар <tex>(i, j)</tex> индексов массива, таких что <tex>|j - i| \leqslant l </tex> и <tex>\sum_{i=0}^{n - 1} a[i] a_i \leqslant W</tex>.
}}
Задача 2:
}}
Для начала решим обе задачи.
Первая задача решается методом [[Сортировка_слиянием|qevide&conqure (рус. разделяй и властвуй)]] - давайте разделим массив <tex>a[0...n-1]</tex> на 2 массива <tex>a[0...\frac{n}{2} - 1]</tex> и <tex>a[\frac{n}{2}...n-1]</tex> и рекурсивно решим задачу для каждого из них. Осталось научиться находить количество искомых пар <tex>(i, j)</tex>, таких что <tex>i < \frac{n}{2}, j \geqslant \frac{n}{2}</tex>. Для этого воспользуемся другой известной техникой - методом двух указателей. Посчитаем массив префиксных сумм для правой половины <tex>pref[i] = \sum_{j=n/2}^{i} a[j]a_j</tex> и суффиксных (<tex>suf[i] = \sum_{j=i}^{n/2 + 1} a[i]a_j</tex>) - для левой. Заведем два указателя (<tex>p1</tex> и <tex>p2</tex>). Изначально установим <tex>p1 = \frac{n}{2} - l + 1, p2 = \frac{n}{2}</tex>. Пока <tex>p2 - 1> \frac{n}{2}</tex> и
<tex>pref[p2] + suf[p1] > W </tex> будем уменьшать <math>p2</math> на <math>1</math>. Если после этого <math>pref[p2] + suf[p1] \leqslant W</math>, то к ответу прибавим <math>(p2 - \frac{n}{2} + 1) * (\frac{n}{2} - p1)</math>, посго, увеличим <math>p1</math> на <math/math>. Так будем делать, пока <math>p1 < \frac{n}{2}</math>. В конце сложим текущий ответ и ответы для половин массива - получим ответ на задачу. Асимптотика такого алгоритма : <tex>T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n) = O(n)</tex>
176
правок

Навигация