Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Фибоначчиева куча

12 546 байт добавлено, 17:13, 25 июня 2017
Нет описания правки
'''Фибоначчиева куча''' (англ. ''Fibonacci heap'') {{---}} структура данных, отвечающая интерфейсу [[Приоритетные очереди#Операции | приоритетная очередь]]. Эта структура данных имеет меньшую [[Амортизационный анализ#Основные определения | амортизированную сложность]], чем такие приоритетные очереди как [[Биномиальная куча | биномиальная куча]] и [[Двоичная куча | двоичная куча]]. Изначально эта структура данных была разработана Майклом Фридманом<ref>[[wikipedia:en:Michael_Fredman | Майкл Фридман {{---}} Википедия]]</ref> и Робертом Тарьяном<ref>[[wikipedia:en:Robert_Tarjan | Роберт Тарьян {{---}} Википедия]]</ref> при работе по улучшению асимптотической сложности [[Алгоритм Дейкстры | алгоритма Дейкстры]]. Свое название Фибоначчиева куча получила  из-за использования некоторых свойств чисел Фибоначчи<ref>[[wikipedia:en:Fibonacci_number | Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]</ref> в [[Амортизационный анализ#Метод потенциалов | потенциальном анализе]] этой реализации.== Фибоначчиево дерево Структура ==Фибоначчиева куча {{---}} набор из [[Дерево, эквивалентные определения | подвешенных деревьев]] удовлетворяющих свойству: каждый предок не больше своих детей(если дерево на минимум). Это означает, что минимум всей кучи это один из корней этих деревьев. Одним из главных преимуществ Фибоначчиевой кучи {{---}} гибкость её структуры из-за того, что на деревья не наложены никакие ограничения по форме. Например, Фибоначчиева куча может состоять хоть из деревьев в каждом из которых по одному элементу. Такая гибкость позволяет выполнять некоторые операции лениво, оставляя работу более поздним операциям. Далее будут даны некоторые определения, которые понадобятся в дальнейшем.
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиево деревоСтепень вершины''' (англ. ''Fibonacci treedegree'') {{---}} [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево |биномиальное дерево]]количество детей данной вершины. Далее будем обозначать как <tex>degree(x)</tex>, где у каждой вершины удалено не более одного ребенка<tex>x</tex> это вершина.
}}
{{Определение
|definition=
'''Порядок фибоначчиева дереваСтепень кучи''' (англ. ''Fibonacci tree rankdegree'') {{---}} порядок соответствующего биномиального дереванаибольшая степень вершины этой кучи. Далее будем обозначать как <tex>degree(H)</tex>, из которого оно полученогде <tex>H</tex> это куча.
}}
== Реализация ==
[[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]
Для возможности быстрого удаления элемента из произвольного места и объединением с другим списком будем хранить их в [[Список#Циклический список | циклическом двусвязном списке]]. Также будем хранить и все уровни поддерева. Исходя из этого структура каждого узла будет выглядеть вот так.
<code style="display:inline-block">
'''struct''' Node
'''int''' key <span style="color:#008000"> // ключ</span>
'''Node''' parent <span style="color:#008000"> // указатель на родительский узел</span>
'''Node''' child <span style="color:#008000"> // указатель на один из дочерних узлов</span>
'''Node''' left <span style="color:#008000"> // указатель на левый узел того же предка</span>
'''Node''' right <span style="color:#008000"> // указатель на правый узел того же предка</span>
'''int''' degree <span style="color:#008000"> // степень вершины</span>
'''boolean''' mark <span style="color:#008000">// был ли удален в процессе изменения ключа ребенок этой вершины)</span>
</code>Также стоит упомянуть, что нам нужнен только на одного ребенка, поскольку остальные хранятся в двусвязном списке с ним. Для доступа ко всей кучи нам тоже нужен всего один элемент, поэтому разумно хранить именно указатель на минимум кучи(он обязательно один из корней), а для получения размера за константное время будем хранить размер кучи отдельно.
<code style="display:inline-block">
'''struct''' fibonacciHeap
'''int''' size <span style="color:#008000">// текущее количество узлов</span>
'''Node''' min <span style="color:#008000">// указатель на корень дерева с минимальным ключом</span>
</code>
==== Cоздание кучи ====
Инициализация кучи.
<code style="display:inline-block">
'''function''' buildHeap:
min <tex>= \varnothing</tex>
size = 0
</code>
==== Вставка элемента ====
Данная операция вставляет новый элемент в список корней правее минимума и при необходимости меняет указатель на минимум кучи.
<code style="display:inline-block">
'''function''' insert(x: '''int'''):
'''Node''' newNode <span style="color:#008000"> // создаем новый узел</span>
newNode.key = x <span style="color:#008000"> // инициализируем ключ нового узла</span>
'''if''' size = 0 <span style="color:#008000"> // если куче нет элементов, то только что добавленный минимальный</span>
min = newNode
min.left = newNode
min.right = newNode
'''else'''<span style="color:#008000"> // иначе аккуратно меняем указатели в списке, чтобы не перепутать указатели</span>
'''Node''' prevRight = min.right
min.right = newNode
newNode.left = min
newNode.right = prevRight
prevRight.left = newNode
'''if''' newNode.key < min.key
min = newNode <span style="color:#008000"> // меняем указатель на минимум, если надо</span>
newNode.parent <tex>= \varnothing</tex>
size++ <span style="color:#008000"> // не забываем увеличить переменную size </span>
</code>
==== Получение минимального элемента ====
Получение минимума всей кучи.
<code style="display:inline-block">
'''int''' getMin:
'''return''' min.key
</code>
==== Соедининение двух куч ====
Для сливание двух Фибоначчиевых куч необходимо просто объединить их корневые списки, а также обновить минимум новой кучи, если понадобится. Вынесем в вспомогательную функцию <tex>unionLists</tex> логику, объединяющую  два списка вершины, которых подаются ей в качестве аргументов.
<code style="display:inline-block">
'''function''' unionLists(first: '''Node''', second: '''Node'''):
'''Node''' L = first.left <span style="color:#008000"> // аккуратно меняем указатели местами указатели</span>
'''Node''' R = second.right
second.right = first
first.left = second
L.right = R
R.left = L
</code>
Сливаем два корневых списка в один и обновляем минимум, если нужно.
<code style="display:inline-block">
'''function''' merge(that: '''fibonacciHeap'''):
'''if''' that.size = 0 <span style="color:#008000"> // если вторая куча пуста, нечего добавлять</span>
'''return'''
'''if''' size = 0 <span style="color:#008000"> // если наша куча пуста, то результатом будет вторая куча</span>
min = that.min
size = that.size
'''else'''
unionLists(min, that.min) <span style="color:#008000"> // объединяем два корневых списка</span>
size += that.size
'''if''' min <tex>= \varnothing</tex> '''or''' (that.min <tex> \neq \varnothing</tex> '''and''' that.min < min) <span style="color:#008000">// если минимум кучи изменился, то надо обновить указатель</span>
min = that.min
</code>
==== Удаление минимального элемента====
Первая рассматриваемая операция, в ходе которой значительно меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex>consolidate</tex>, благодаря которой собственно и достигается желанная амортизированная оценка. В данном случае <tex> min = \varnothing</tex> не рассматривается и считается нарушением предусловий <tex>deleteMin</tex>
<code style="display:inline-block">
'''int''' deleteMin:
'''Node''' prevMin = min
unionLists(min, min.child) <span style="color:#008000"> // список детей min объединяем с корневым</span>
'''Node''' L = min.left <span style="color:#008000"> // аккуратно удаляем min из списка</span>
'''Node''' R = min.right
L.right = R
R.left = R
'''if''' prevMin.right = prevMin <span style="color:#008000"> // отдельно рассмотрим случай с одним элементом</span>
min <tex>= \varnothing</tex>
'''return'''
min = min.right <span style="color:#008000"> // пока что перекинем указаиель min на правого сына, а далее consolidate() скорректирует min в процессе выполнения</span>
consolidate()
size--
'''return''' prevMin.key
</code>
===== Прорежение деревьев =====
Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> degree(H) + 1</tex> вершин.
 
Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0 \dots D[H]] </tex>, где <tex> degree(H) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке.
 
Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку. Подвешиваем мы его следующим образом: в корневой список добавляем корень минимальный из тех двух, а корень другого добавляем в список детей корневой вершины. Чтобы лучше понять этот процесс лучше воспользоваться [https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/FibonacciHeap.html визуализатором]
<code style="display:inline-block">
'''function''' consolidate:
A = '''Node[]'''
A[min.degree] = min <span style="color:#008000"> // создаем массив и инициализируем его min</span>
'''Node''' current = min.right
'''while''' A[current.degree] <tex>\neq</tex> current<span style="color:#008000"> // пока элементы массива меняются</span>
'''if''' A[current.degree] <tex>= \varnothing</tex> <span style="color:#008000"> // если ячейка пустая, то положим в нее текущий элемент</span>
A[current.degree] = current
current = current.right
'''else''' <span style="color:#008000"> // иначе подвесим к меньшему из текущего корня и того, который лежит в ячейке другой</span>
'''Node''' conflict = A[current.degree]
'''Node''' addTo, adding
'''if''' conflict.key < current.key
addTo = conflict
adding = current
'''else'''
addTo = current
adding = conflict
unionLists(addTo.child, adding)
adding.parent = addTo
addTo.degree++
current = addTo
'''if''' min.key > current.key <span style="color:#008000"> // обновляем минимум, если нужно</span>
min = current
</code>
'''Пример'''
 
Изначально добавляем в нашу кучу <tex>7</tex> элементов <tex>56, 22, 84, 32, 85, 15, 16</tex>. После этого выполним операцию извлечения минимума:
 
[[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-1.png|thumb|center|500px|Начальное состояние кучи]]
 
 
* Удалим минимальный элемент из циклического корневого списка и заведем массив <tex>A</tex> для дальнейшего прорежения.
 
 
[[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-2.png|thumb|center|500px|Удаление мимимума и создание массива]]
 
 
* Начнем процесс протяжения с первого элемента {{---}} <tex>56</tex>. Его степень равна <tex>0</tex> поэтому запишем его адрес в нулевую ячейку массива.
 
 
[[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-3.png|thumb|center|500px|Состояние массива после первой итерации]]
 
 
* Следующий элемент <tex>22</tex> тоже имеет степень <tex>0</tex>. Возникает конфликт, который решается подвешиванием к меньшему корню большего. То есть к <tex>22</tex> подвешиваем <tex>56</tex> и увеличиваем степень <tex>22</tex> на <tex>1</tex>. В итоге степень <tex>22</tex> равна <tex>1</tex>. Записываем адрес <tex>22</tex> по индексу <tex>1</tex> в массив.
 
[[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-4.png.png|thumb|center|500px|Состояние после второй итерации]]
 
* Делаем тоже самое, что и на предыдущих итерациях, но теперь объединяем <tex>32</tex> и <tex>84</tex>  [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-5.png|thumb|center|500px|Состояние после четвертой итерации]]  * Теперь у нас два элемента со степенью <tex>1</tex> в корневом списке. Объединим их подвесив к меньшему корню {{---}} <tex>22</tex>, больший {{Определение---}} <tex>32</tex>. Теперь степень <tex>22</tex> равна <tex>2</tex>, запишем на <tex>2</tex> позицию массива обновленное значение.  [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-6.png|thumb|center|definition500px|Состояние после пятой итерации]]   * Ну и наконец аналогично объедений последние два элемента.  [[File:Fibonacci-heap-consolidate-example-7.png|thumb|center|500px|Финальное состояние кучи]]  ==== Уменьшение значения элемента ====Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой [[Список |список]]. Итак, сам алгоритм: # Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой [[Список |список]], и производим каскадное вырезание родителя. <code style="display:inline-block"> '''Степень function''' decreaseKey(x: '''Node''', newValue: '''int'''): '''if''' newValue > x.parent.key <span style="color:#008000"> // если после изменения структкра дерева сохранится, то меняем и выходим</span> x.key = newValue '''return''' '''Node''' parent = x.parent <span style="color:#008000"> // иначе вызываем cut и cascadingCut</span> cut(x) cascadingCut(x.parent)</code>===== Вырезание =====При вырезании вершинымы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>).<code style="display:inline-block"> '''function''' cut(англx: '''Node''') '''Node''' L = x. left '''Node'''R = x.right R.left = L <span style="color:#008000"> // аккуратно удаляем текущую вершину</span> L.right = R x.right = x x.left = x x.parent.degree-- '''if''' x.parent.child = x <span style="color:#008000"> // чтобы родитель не потерял ссылку на сыновей проверяем: </span> '''if''' x.right = x. <span style="color:#008000"> // если узел который мы вырезаем содержится в родителе, то меняем его на соседний</span> x.parent.child <tex>= \varnothing</tex> <span style="color:#008000"> // иначе у родителтя больше нет детей</span> '''else''' x.parent.child = x.right x.parent <tex>= \varnothing</tex> unionLists(min, x) <span style="color:#008000"> // вставляем наше поддерево в корневой список</span></code>===== Каскадное вырезание =====Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]<code style="display:inline-block"> '''function''' cascadingCut(x: '''Node''') '''while''' x.mark = '''true''' <span style="color:#008000"> // пока у нас помеченые вершины вырезаем их</span> cut(x) x = x.parent x.mark = true <span style="color:#008000"> // последнюю вершину нужно пометить {{---}} количество дочерних узлов данной у нее удаляли ребенка</span></code> '''Пример''' Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания: * Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершиныс ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой [[Список |список]] и помечаем ее родителя.* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев.
==== Удаление элемента ====
Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума.
<code style="display:inline-block">
'''function''' delete(x: '''Node''')
decreaseKey(x, <tex>-\infty</tex>)
deleteMin()
</code>
== Время работы ==
==== Потенциал ====
Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи как <tex> \Phi = trees + 2 * marked </tex>, где <tex> trees </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а <tex> marked </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.
==== Cоздание кучи ====
Очевидно, что реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.
==== Вставка элемента ====
Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> trees(H') = trees(H) + 1 </tex> и <tex> marked(H') = marked(H) </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (trees(H) + 1 + 2 * marked(H)) - (trees(H) + 2 * marked(H)) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.
==== Получение минимального элемента ====
Истинное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.
==== Соедининение двух куч ====
Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.
==== Удаление минимального элемента====
Для доказательства времени работы этого алгоритма нам понадобится доказать несколько вспомогательных утверждений.
{{Лемма
|id=Лемма1
<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>
}}
 
== Фибоначчиева куча ==
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиева куча''' (англ. ''Fibonacci heap'') {{---}} набор фибоначчиевых деревьев, корни которых объединены в неупорядоченный [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]]. В отличие от [[Биномиальная куча|биномиальной кучи]], степени корней не обязаны быть попарно различными.
}}
Фибоначчиевы кучи поддерживают тот же набор операций, что и биномиальные кучи, но имеют то преимущество, что операции, в которых не требуется удаление, имеют [[Амортизационный анализ|амортизированное]] время работы, равное <tex>O(1)</tex>.
 
С теоретической точки зрения фибоначчиевы кучи особенно полезны в случае, когда количество операций <tex>\mathrm {extractMin}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> относительно мало по сравнению с количеством других операций. Однако с практической точки зрения программная сложность и высокие значения постоянных множителей в формулах времени работы существенно снижают эффективность применения фибоначчиевых куч, делая их в большинстве случаев менее привлекательными, чем обычные [[Двоичная куча|бинарные кучи]].
 
{{Лемма
|id=Лемма3
|statement= <tex>F_n =\ThetaO(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>
|proof=
Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>
Подставив вместо <tex>\varphi</tex> его значение, нетрудно убедится, что <tex>\varphi^{-1} + \varphi^{-2} = -\varphi + \varphi^{2} = 1</tex>
Поскольку <tex>\left\vert (-\varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <tex dpi="160">\frac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex>. Таким образом, <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Следовательно, <tex>F_n =\ThetaO(\varphi^n)</tex>.
}}
{{Лемма
|id=Лемма4
|statement=Максимальная степень <tex>D(n)degree</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex>O(\log n)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. Тогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, содержится не менее <tex>F_k</tex> вершин, что в свою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>\ThetaO(\varphi^k)</tex>.
То есть
<tex>\log_{\varphi}n \geqslant k</tex>
Таким образом, максимальная степень <tex>D(n)degree</tex> произвольной вершины равна <tex>O(\log n)</tex>.
}}
=== Структура =======Структура узла====Каждый узел Итоговая асимптотика операции <tex>x\mathrm {extraxtMin}</tex> в куче , учитывая и вспомогательную функцию <tex>H\mathrm {consolidate} </tex> содержит следующие указатели и поля, время работы которой доказывается ниже, равно: '''struct''' Node '''int''' key <span styletex> O(1)+O(degree)+O(degree)="color:O(degree) </tex>. По доказанной выше [[#008000"Лемма4|лемме]] <tex> // ключO(degree) = O(\log(n))</spantex>.  '''Node''' p Учетная стоимость <span style="color:#008000"tex> \mathrm {consolidate} <// указатель на родительский узелtex> равна <tex> O(degree) </spantex>. Докажем это: '''Node''' child Изначально в корневом списке было не более <span style="color:#008000"tex> degree + trees - 1 <// указатель на один tex> вершин, поскольку он состоит из дочерних узловисходного списка корней с <tex>trees</spantex> '''Node''' left узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <span style="color:#008000"tex> degree <// указатель на левый сестринский узелtex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </spantex> '''Node''' right мы сделали <span style="color:#008000"tex> // указатель на правый сестринский узелO(degree + trees) </spantex> '''int''' degree слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <span style="color:#008000"tex> // количество дочерних узловtrees + 2 * marked </spantex> '''boolean''' mark , а после не превышает <span style="color:#008000"tex>degree + 1 + 2 * marked<// флагtex>, который показывает, удаляли ли мы дочерние узлы данной вершиныпоскольку в корневом списке остается не более <tex> degree + 1 </spantex>узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит
====Структура кучи==== '''struct''' Heap '''int''' size <span style="color:#008000"tex>// текущее количество узлов</span> '''Node''' min <span styleO(degree + trees) + (degree + 1 + 2 * marked) - (trees + 2 * marked) ="color:#008000">// указатель на корень дерева с минимальным ключом</span>====Структура списка детей====[[File:FibonacciO(degree) + O(trees) -heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]* Дочерние узлы <tex>x</tex> объединены при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]].* Корни всех деревьев в <tex>H</tex> связаны при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>righttrees</tex> в [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]] корней.
[[Список#Циклический список |Циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]] обладает двумя преимуществами для использования в фибоначчиевых кучах. ВоПоскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество работы, то итоговая амортизационная оценка {{---первых, удаление элемента из такого списка выполняется за время }} <tex>O(1degree)</tex>. Во-вторых==== Уменьшение значения элемента ====Докажем, если имеется два таких списка, их легко объединить в один за что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex>O(1)</tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.
=== Потенциал ===Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания подверглось <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы каждой итерации <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.
Для анализа производительности операций введем Рассмотрим, как изменится потенциал для фибоначчиевой кучи в результате выполнения данной операции. Пусть <tex>H</tex> как {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \Phi(H) = t[H] + 2m[H] mathrm {decreaseKey} </tex>, где . Тогда после <tex> t[H] k </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а итераций операции <tex> m[H] \mathrm {cascadingCut} </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримсястало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работыкаждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).
В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((trees + k) + 2 * (marked + k - 2)) - (trees + 2 * marked) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.====Удаление элемента = Операции ===Рассмотрим операции, которые поддерживают фибоначчиевы кучи. Амортизированное время их работы показано в таблице: <tex> O(1) + O(degree) = O(degree) </tex>.
Поскольку ранее мы показали, что <tex> degree = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.
==== Итоговая таблица ====
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Операция
|}
 Стоит заметить, что структура фибоначчиевых куч, также как биномиальных и бинарных, не могут обеспечить эффективную реализацию поиска элемента с заданным ключом, поэтому операции <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> получают в качестве аргумента указатель на узел, а не значение его ключа. ==== makeHeap ==Недостатки и достоинства == Создается новый пустой корневой [[Список#Двусвязный список | список]], в <tex> H.min </tex> устанавливается значение <tex> null </tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. ==== insert ==== Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> t[H'] = t[H] + 1 </tex> и <tex> m[H'] = m[H] </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (t[H] + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.Недостатки''': ==== getMin ====Возвращает указатель <tex>H.min</tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O* Большое потребление памяти на узел(1минимум 21 байт) </tex>. ==== merge ==== Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время * Большая константа времени работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.что делает ее малоприменимой для реальных задач ==== extractMin ==== Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. Возьмем указатель на <tex> H.min </tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <tex> D(n) </tex>, где <tex> D(n) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в куче) объединим с корневым списком. Теперь вызываем процедуру <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. После этой * Некоторые операции могут в списке корней остается не более чем <tex> D(n) + 1</tex> узлов, среди которых нужно найти минимальный. Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: худшем случае могут работать за <tex> O(1)+O(D(n))+O(D(n))=O(D(n)) </tex>. По доказанной выше [[#Лемма4|лемме]] <tex>O(D(n)) = O(\log(n))</tex>.времени ===== consolidate ===== Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1</tex> вершин. Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0..D[H]] </tex>, где <tex> D[H] </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке. Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]'''Достоинства''': добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку. Учетная стоимость <tex> \mathrm {consolidate} </tex> равна <tex> O(D(n)) </tex>. Докажем это: Изначально в корневом списке было не более <tex> D(n) + t[H] - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит * Одно из исходного списка корней с <tex>t[H]</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <tex> D(n) </tex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(D(n) + t[H]) </tex> слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> t[H] + 2m[H] </tex>, а после не превышает <tex> D(n) + 1 + 2m[H] </tex>, поскольку в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1 </tex> узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит <tex> O(D(n) + t[H]) + (D(n) + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = O(D(n)) + O(t[H]) - t[H]</tex> Поскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество лучших ассимптотических времен работы, то итоговая амортизационная оценка {{---}} <tex> O(D(n)) </tex>для всех операций==== decreaseKey ==== Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>См. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой [[Список |список]]. Итак, сам алгоритм: # Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой [[Список |список]], и производим каскадное вырезание родителя.  ===== cut ===также == При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>). ===== cascadingCut ===== * [[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезанияПриоритетные очереди]] Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя. '''Пример''' Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания: * Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины с ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой [[Список |списокДвоичная куча]] и помечаем ее родителя.* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев. ===== Время работы ===== Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания. Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> без учета рекурсии составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.  Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Тогда после <tex> k </tex> рекурсивных вызовов операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex> стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).  В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((t[H] + k) + 2(m[HБиномиальная куча] + k - 2)) - (t[H] + 2m[H]) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>. ==== delete ==== Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(D(n)) = O(D(n)) </tex>. Поскольку ранее мы показали, что <tex> D(n) = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны. ==См. также==
* [[Левосторонняя куча]]
* [[Тонкая куча]]
* [[Толстая куча на избыточном счетчике]]
* [[Куча Бродала-Окасаки]]
== Примечания ==<references/>
== Источники информации ==
 
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
* [[wikipedia:ruen:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]* [[wikipedia:ruen:Фибоначчиева кучаFibonacci heap|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]* [https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/FibonacciHeap.html Fibonacci heap visualization]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]
* [http://rainwww.cs.ifmoduke.ruedu/catcourses/view.phpfall05/viscps230/heaps ВизуализаторыL-11.pdf Fibonacci Heaps {{---}} Duke University]* [httphttps://www.cs.dukeprinceton.edu/courses/fall05~wayne/cps230teaching/Lfibonacci-11heap.pdf Fibonacci Heaps{{---}} Princeton University]
[[Категория: Дискретная математика Алгоритмы и алгоритмыструктуры данных]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]
162
правки

Навигация