137
правок
Изменения
Нет описания правки
Если <tex>dist_G(x, y) \geqslant g - 1</tex>, то соединим их ребром и получим граф <tex>G' = G \cup xy, G'\in G_{set}(g, n, k)</tex>, при этом <tex>|E(G')| > |E(G)|</tex> (так как в графе <tex>G'</tex> есть все те рёбра, которые есть в <tex>G</tex>, и ребро <tex>xy</tex>). Значит, граф <tex>G</tex> не может быть выбран из множества <tex>G_{set}(g, n, k)</tex>, так как у него не максимальное количество рёбер.
Так <tex>d_G(x), d_G(y) \leqslant k - 1 </tex>, а степени остальных вершин графа не более <tex>k</tex>, то на расстоянии не более <tex>g - 1</tex> от <tex>y</tex> находится не более чем <tex>1 + (k - 1) + ... + (k - 1)^{g - 1} = \sum\limits_{n=1}^{g - 1} (k - 1)^n = \dfrac{(k-1)^{g} - 1}{k - 2}</tex> вершин графа, а на расстоянии не более <tex>g - 2</tex> от <tex>x</tex> находится не более чем <tex>1 + (k - 1) + ... + (k - 1)^{g - 2} = \sum\limits_{n=1}^{g - 2} (k - 1)^n =\dfrac{(k-1)^{g - 1} - 1}{k - 2}</tex> вершин. Тогда по условию теоремы существует такая вершина <tex>z</tex>, что <tex>dist(x, z) \geqslant g - 1</tex> и <tex>dist(y, z) \geqslant g</tex>. Невозможно, что <tex>d_G(z) < k</tex>, так как в таком случае, <tex>d_G(z) < k, d_G(y) < k, dist_G(y, z) \geqslant g</tex> (невозможность чего следует из рассмотренного выше). Следовательно, <tex>d_G(z) = k \geqslant 3</tex>, следовательно, существует ребро <tex>zu \in E(G)</tex>, через которое проходят не все простые циклы длины <tex>g</tex> графа <tex>G</tex>, тогда <tex>g(G \setminus zu) = g(G) = g</tex>
}}
