Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Независимые случайные величины

2517 байт добавлено, 21:02, 4 марта 2018
м
Нет описания правки
== Определение Определения ==
'''Независимые случайные {{Определение|id=def1|definition=Cлучайные величины''' - <tex> \xi </tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если для <tex>\forall \alpha </tex> и <tex>,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex> [ \xi \leqslant \alpha]</tex> и <tex> [ \eta \leqslant \beta]</tex> [[Независимые события|независимы]]. Иначе говоря случайная величина <mathbr> <tex>P((\xi</math> называется независимой от величины <math>\leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta</math>, если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины <math>)) = P(\xi</math> не зависит от значения величины <math>\leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</mathtex>}}Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.
== Замечание =Независимость в совокупности ==={{Определение|id=def2|definition=Случайные величины <tex>\xi_1, \ldots ,\xi_n</tex> называются '''независимы в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если события <tex>\xi_1 \leqslant \alpha_1, \ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n</tex> независимы в совокупности.}}
Стоить отметить, что если <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <math>\xi</math> = <math>\alpha</math>, <math>\eta</math> = <math>\beta</math>. Но не достаточно рассматривать случай <math>\alpha</math> = <math>\beta</math>. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. <math>\Omega</math> = {0, 1}. Пусть <math>\xi</math>(i) = i, <math>\eta</math>(i) = i + 2. Если перебрать все значения <math>\alpha</math> (<math>\alpha</math> = <math>\beta</math>), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.
== Примеры ==
=== Честная монета =Карты ==Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <math>\Omega</math> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <math>\xi</math> и <math>\eta</math> - случайные величины. <math>\xi</math>(i) = i % 2, <math>\eta</math>(i) = [i <math>\geqslant</math> 4]. Пусть <math>\alpha</math> = 0, <math>\beta</math> = 0. Тогда P(<math>\xi \leqslant</math> 0) = 1/2, P(<math>\eta \leqslant</math> 0) = 1/2, P((<math>\xi \leqslant</math> 0)<math>\cap</math>(<math>\eta \leqslant</math> 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы.
=== Пример Берншейтна ===Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А (соответственно, B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цвета. Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет Пусть есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух колода из них равна 1/4, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как 1<tex>36</tex> карт (<tex>4 = 1</2 • 1tex> масти и <tex>9</2, то все события попарно независимыtex> номиналов). Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна 1/4, а не 1/8, т.е. события не являются независимыми в совокупностиМы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны).Определим следующие случайные величины:
<tex>\xi</tex> {{---}} масть вытянутой карты : <tex>0</tex> {{---}} червы, <tex>1</tex> {{---}} пики, <tex>2</tex> {{---}} крести, <tex>3</tex> {{---}} бубны
== Литература и источники информации ==<tex>\eta</tex>: принимает значение <tex>0</tex> при вытягивании карт с номиналами <tex>6, 7, 8, 9, 10</tex> или <tex>1</tex> при вытягивании валета, дамы, короля или туза
Для доказательства того, что <tex>\xi, \eta</tex> независимы, требуется рассмотреть все <tex>\alpha,\beta</tex> и проверить выполнение равенства:<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex> Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>, остальные рассматриваются аналогично: <tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{36} </tex> <tex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </tex> <tex> \cdot </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{9} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{36} </tex> ==== Тетраэдр ====Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \{0, 1, 2, 3\}</tex>. <tex>\xi (i) = i \bmod 2</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{2} \right \rfloor</tex>. Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>. Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы. Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i \bmod 3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{3} \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex> , <tex>P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{3}{4} </tex> , <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </tex> <tex> \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)</tex>. ==== Честная игральная кость ====Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <tex>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</tex>, <tex>\xi (i) = i \bmod 2</tex>, <tex>\eta (i) = \dfrac{\mathcal {b} i}{3 \mathcal {c}}</tex>.Для того, чтобы показать, что величины <tex>\xi, \eta</tex> зависимы, надо найти такие <tex>\alpha, \beta</tex>, при которых<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex> При <tex>\alpha = 0, \beta = 1</tex>: <tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{2}{6} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{3} </tex>, <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{6} </tex> <tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</tex>, откуда видно, что величины не являются независимыми. ==См.также==*[[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]*[[Дискретная случайная величина]]*[[Математическое ожидание случайной величины]] == Источники информации ==*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html НГУ {{---}} Независимость случайных величин] *[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия{{---}} Независимость (теория вероятностей)] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][http[Категория://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.htmlТеория вероятности]]
263
правки

Навигация