Изменения

В этом направлении много усилий приложили Вильям Томас '''Татт''' (''William Thomas Tutte''), Клауд Клод '''Берж''' (''Claude BregeBerge''), Джек '''Эдмондс''' (''Jack Edmonds'') и Тибор '''Галлаи''' (''Tibor Gallai'').

Необходимые определенияСтруктурные единицы декопозиции:[[Файл: EG_red.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным]]

Достаточно доказатьДля начала докажем, что <tex>D(G - a) = D(G)</tex>. <br>

# покажемПокажем, что <tex>D(G - a) \supset D(G)</tex> : <br>

#:Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из <tex>C(G - A)</tex> и <tex>D(G - A)</tex>. Каждое максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex>G - A</tex> покрывает все вершины множества <tex>C(G)</tex>, поэтому <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт <tex>1)</tex>.

# Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1\ldots U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи (выше) мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> {{---}} фактор-критический.

# Пусть <tex>M</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \geqslant |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам <tex>1) </tex> и <tex>2) </tex> очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1\ldots D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1\ldots U_n</tex>. # Из пункта <tex>3) </tex> сразу же следуют равенства пункта <tex>4) </tex> и <tex>5)</tex>.

|statement= Для любого барьера <tex>B</tex> графа <tex>BG</tex> верно, что <tex>B\cap D(G) = \varnothing</tex>|proof= Рассмотрим <tex>U_{1}, U_{2}, \ldots U_{n}</tex> {{---}} нечётные компоненты связанности <tex>G \setminus B</tex>, <tex>\ M</tex> {{---}} максимальное паросочетание в <tex>G</tex>. <tex>\forall\ U_{i}\ \exists x \in U_{i}: x</tex> не покрыта <tex>\ M</tex>, или <tex>xv \in M \land v \in B</tex>. Всего графе не покрыто хотя бы <tex>odd(G\setminus B) - |B|</tex> вершин. Однако , так как <tex>B</tex> {{---}} барьер, непокрыто '''ровно''' столько вершин. Следовательно , любое максимальное паросочетание не покрывает только вершины из <tex>G \setminus B</tex>, а значит каждая вершина барьера покрыта в любом максимальном паросочетании. Отсюда получаем, что ни одна вершина из <tex>D(G)</tex> не могла оказаться в барьере.

|proof=Так в барьере как для барьера <tex>B</tex> верно, что <tex>odd(G\setminus B) - |B|=def(G) \geqslant 0</tex>, то ровно <tex>|B|</tex> вершин из нечётных компонент <tex>G \setminus B</tex> покрыты рёбрами <tex>xv \in M \land v \in B</tex>

|proof= Так как <tex>x \notin D(G)</tex>, то <tex>\forall\ M</tex> {{---}} для любого максимального паросочетания в <tex>G M: x \in M</tex>. Следовательно , <tex>|M'| = |M| - 1</tex>, где <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание в <tex>G'</tex>.\  <tex>def(G') = (|V| - 1)- 2 \cdot |M'| = |V| - 2 \cdot |M| + 1 = def(G) + 1</tex>  <tex>odd(G - (B'\cup x)) = odd(G' - B') = </tex><tex>|B'| + def(G') = |B'| + 1 + def(G) = |B'\cup x| + def(G) = |B| + def(G)</tex>