Изменения

# <tex> k \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n}{2} </tex>, тогда <tex> 2m = \sum_{i=1}^n deg(v_i) >= \sum_{i=1}^n k = k n \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2}{2} </tex> # <tex> k < \genfrac{}{}{}{0}{n}{2} </tex>. Пусть существует <tex> x </tex> вершин, так что их степени равны <tex> k </tex>, тогда они все должны быть связаны, так как иначе мы получим противоречие с утверждением теоремы <tex> \forall (u, v) \notin E : deg(u) + deg(v) \geqslant n </tex>. Понятно, что <tex> x \leqslant k + 1 </tex>, но так как граф является гамильтоновым, то он связен, а значит <tex> x < k + 1 </tex>. Несложно заметить, что если из всех <tex> x </tex> вершин степени <tex> k </tex> провести оставшиеся ребра в одну вершину, у которой степень больше, то в графе остенется как минимум <tex> n - k - 1 </tex> вершин, степени которых как минимум <tex> n - k </tex>, поскольку должно выполняться неравенство из теоермы. Тогда можно оценить количество ребер. <br> <tex> m \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}((n-k-1)(n-k)+k^2+(k+1)) = \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}(n^2 - n(2k + 1) + 2k^2 + 2k + 1) \geqslant \genfrac{}{}{}{0}{n^2+1}{4} </tex>