Изменения

|definition = '''Максимальным по включению [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barrier | барьером ]] '''(англ.''maximum barrier'') называется барьер максимальной мощности.

}}

Пусть <tex>B</tex> {{---}} максимальный барьер, <tex>|A(G)\setminus B| = k > 0</tex>, <tex>B' = B \cup A(G)</tex>, <tex>|B'| = |B| + k</tex>.<br>

Докажем, что <tex>B'</tex> {{---}} барьер и получим противоречие. Для этого достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{odd}(G\setminus B)\ + k</tex>, ведь в таком случае <tex>\mathrm{odd}(G\setminus B')\ \geqslant \mathrm{def}(G)\ + |B| + k \Rightarrow \mathrm{odd}(G\setminus B')\ - |B'| \geqslant \mathrm{def}(G)</tex>. <br>

В силу [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#barier_struct1| леммы о связи барьера]] с <tex>D(G)</tex>, <tex>B'\cap D(G) = \varnothing</tex>. Поэтому, <tex>W</tex> содержит все компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, соединённые рёбрами с <tex>W\cap A(G)</tex>. <br>

По [[ Декомпозиция Эдмондса-Галлаи#theorem_Gallai_Edmonds| теореме Эдмондса-Галлаи]] все эти компоненты связности нечетные и их хотя бы <tex>t + 1</tex>. <br>

Рассмотрим максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>G</tex>, пусть <tex>xy\in M</tex>.<br>

Докажем, что <tex>B = A(G)\cup \{ y \}</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>. Так как <tex>|B| = |A(G)| + 1</tex>, достаточно доказать, что <tex>\mathrm{odd}(B)\ \geqslant \mathrm{odd}(A(G))\ + 1</tex>.<br>

Множество <tex>W' = W\setminus \{ y \}</tex> содержит нечётное число вершин и является объединением нескольких компонент связности графа <tex> G - B</tex>, которых нет в <tex>G - A(G)</tex>. Среди этих компонент связности есть нечётная, значит <tex>B</tex> {{---}} барьер графа <tex>G</tex>.<br>

Пусть <tex>B'</tex> {{---}} максимальный барьер графа <tex>G</tex>, содержащий <tex>B</tex>.<br>