112
правок
Изменения
pictures fixed
|proof=
[[Файл:Circle 1.jpg|200px|left|thumb| <tex> v_k </tex> на дуге <tex> (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j -1}) </tex> и ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+3}</tex>) выделены. Дуги и ребра, окрашенные в зеленый цвет, образуют цикл длины l]] [[Файл:Circle 2.jpg|200px|right|thumb| <tex> v_k </tex> на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex> и ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+1}</tex>) выделены. Дуги и ребра, окрашенные в зеленый цвет, образуют цикл длины l]]
Обозначим как <tex> C=v_1 v_2 v_3 \ldots v_n </tex> гамильтонов цикл в графе <tex> G </tex>. Для простоты расположим <tex> C </tex> на окружности (см. рисунки). Также подразумевается, что все индексы при вершинах берутся по модулю, то есть <tex> v_j = v_{((j - 1)\bmod n) + 1} </tex>.
Пусть граф не панциклический, тогда в неи нет цикла длины <tex> l </tex>, <tex> 3 \leqslant l \leqslant n-1 </tex> (по условию в графе существует гамильтонов цикл, длина которого равна <tex> n </tex>). Рассмотрим две соседние вершины <tex> v_j v_{j+1} </tex> и вместе с ними рассмотрим следующие пары:
Для <tex>k</tex> таких, что <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j -1}) </tex> рассмотрим пары (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+3}</tex>) (см. рисунок слева)
Для <tex>k</tex> таких, что <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex> рассмотрим пары (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+1}</tex>) (см. рисунок справа)
При добавлении таких пар ребер в графе появляется цикл длины <tex> l </tex> (выделены зеленым цветом на рисунках слева и справа). Действительно:
*Рассмотрим первый случай, когда <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + l - 1}, v_{j + l}, v_{j -1}) </tex> и существуют ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+3}</tex>). Длина цикла равна <tex> len((v_{k - l + 3}, v_{k - l + 4}, v_{k})) + 3 = k - (k - l + 3) + 3 = l - 3 + 3 = l </tex>.
*Рассмотрим второй случай, когда <tex> v_k </tex> лежит на дуге <tex> (v_{j + 2}, v_{j + 3}, v_{j + l - 2}) </tex> и существуют ребра (<tex>v_j, v_k</tex>) и (<tex>v_{j+1}, v_{k-l+1}</tex>). Тогда длина цикла равна <tex> len((v_{k}, v_{k - 1}, v_{k - l + 1})) - 1 + 2 = k - (k - l + 1) - 1 + 2 = l - 1 - 1 + 2 = l </tex>.
