Изменения
Нет описания правки
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
'''Символ Похгаммера''' введен Лео Августом Похгаммером в записи <tex>(x)^n</tex>, где <tex>n</tex> неотрицательное целое число. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и падающий убывающий факториал как определено выше. Поэтому при чтении любой статьи необходимо обратить внимание на то, какой именно из двух факториалов имеется в виду. Сам Похгаммер для себя использовал <tex>(x)^n</tex> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента <tex>\tbinom xn</tex>.
В этой статье <tex>(x)_n</tex> означает убывающий факториал и <tex>(x)^n</tex> - растущий факториал. Такое же обозначение используется в комбинаторике.
:<tex>(x)_{3}=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x </tex>
:<tex>(x)_{4}=x^{\underline4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x </tex>
Коэффициенты в выражениях являются [[Числа Стирлинга первого рода|числами Стирлинга первого рода]].
==Свойства==
== Связующие коэффициенты и тождества ==
Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[Lah numbers]] и суммами для интегральных степеней переменной <tex>x</tex> с привлечением [[Stirling numbers of the second kindЧисла Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]] в следующих формах, в которых <tex>\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k!</tex>:<ref>{{cite web|title=Introduction to the factorials and binomials|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/|website=Wolfram Functions Site}}</ref>
:<tex>
</tex>
Так как убывающие фаеториалы факториалы - бпзис базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
:<tex>(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.</tex>
Коэффициенты <tex>(x)_{m+n-k}</tex> называются ''' связующий коэффициенты''' (англ. connection coefficients). Они имеют комбинаторную интерпретацию как число способов определить (or glue together) каждый из <tex>k</tex> элементов из множества размера <tex>m</tex> и множемтва множества из <tex>n</tex> элементов. Так же есть связывающая формула для отношения двух символов Похгаммера:
:<tex>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. </tex>
These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the [[Stirling numbers of the first kind]] as well as recurrence relations and functional equations related to the ''f-harmonic numbers'', <math>F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} t^k / f(k)^r</math>.<ref>''[https://arxiv.org/abs/1611.04708 Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers]'' (2016).</ref>
== См.также ==
*[[Числа Стирлинга первого рода]]
==Примeчания==
<references/>
==Источники материала==
