Изменения
→Свойства
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
:<texdpi=150>\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.</tex>
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для падающих и растущих факториалов.
Растущий факториал может быть выражен как падающий факториал, начинающийся с другого конца,
:<texdpi=150>x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,</tex>
или как убывающий с противоположным аргументом,
:<texdpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .</tex>
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, <texdpi=150>x</tex> может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения <texdpi=150>n</tex>, но с использованием Гаммы функции при условии, что <texdpi=150>x</tex> и <texdpi=150>x+n</tex> вещественные числа, но не отрицательные целые:
:<texdpi=150>x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},</tex>
то же самое и про убывающий факториал:
:<texdpi=150>(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}.</tex>
Если <tex>D</tex> означает производную по <tex>x</tex>, то
:<texdpi=150>D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.</tex>
== Связывающие коэффициенты и тождества ==
