Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Независимые случайные величины

3 байта добавлено, 20:53, 4 марта 2018
м
Fix ticket
{{Определение
|id=def1
|definition=Cлучайные величины <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> [[Независимые события|независимы]].<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P\cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>
}}
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.
{{Определение
|id=def2
|definition=Случайные величины <tex>\xi_1,...\ldots ,\xi_n</tex> называются '''независимы в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если события <tex>\xi_1 \leqslant \alpha_1,...\ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n</tex> независимы в совокупности.
}}
Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>, остальные рассматриваются аналогично:
<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{5}{36} </tex>
<tex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{4} </tex> <tex> \cdot </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{5}{9} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{5}{36} </tex>
==== Тетраэдр ====
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi (i) = i~mod~\bmod 2</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor i / 2 \right \rfloor</tex>.
Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{2} </tex>.
Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.
Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i~mod~\bmod 3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor i / 3 \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{2} </tex> , <tex>P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{3}{4} </tex> , <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{4} </tex> <tex> \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)</tex>.
==== Честная игральная кость ====
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>, <tex>\xi (i) = i~mod~\bmod 2</tex>, <tex>\eta (i) = \dfrac{\mathcal {b} i / }{3 \mathcal {c}}</tex>.
Для того, чтобы показать, что величины <tex>\xi, \eta</tex> зависимы, надо найти такие <tex>\alpha, \beta</tex>, при которых
<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>
<tex>При \alpha = 0, \beta = 1</tex>:
<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{2}{6} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{3} </tex>, <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = </tex> <tex dpi = "160" > \fracdfrac{5}{6} </tex>
<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</tex>, откуда видно, что величины не являются независимыми.
263
правки

Навигация