Изменения
наброски статьи
Имея дело с суммой конечного числа слагаемых, можно менять слагаемые местами и расставлять скобки - от этого результат не изменится.
Числовой ряд - это сумма бесконечного числа слагаемых, и действия нужно производить с оглядкой на этот факт.
Как мы убедимся далее, абсолютно сходящиеся ряды полностью копируют поведение суммы конечного числа слагаемых, а условно сходящиеся - нет.
== Расставление скобок ==
Под "расставлением скобок" в ряде понимают буквально следующее: пусть имеется последовательность
:<tex>n_1 < n_2 < \dots</tex>,
:<tex>\sum a_n = (a_1 + \dots + a_{n_1 - 1}) + (a_{n_1} + \dots + a_{n_2}) + \dots</tex>.
:<tex>b_p = \sum\limits_{k = n_{p - 1}}^{n_p - 1} a_k, \qquad n_0 = 1</tex>
Из построения видно, что частичная сумма ряда <tex>b_p</tex> является некоторой частичной суммой ряда <tex>a_n</tex>. Если исходный ряд сходится, то и ряд с расставленными скобками сходится к той же сумме. Обратное неверно: рассмотрим ряд с расставленными скобками
:<tex>(1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0</tex>
Но ряд без скобок является расходящимся.
Легко установить факт: сходящийся ряд с расставленными скобками, в каждой скобке которого стоят слагаемые одного знака, сходится и без расставленных скобок.
== Перестановка слагаемых ряда ==
Уточним, что понимается под перестановкой слагаемых ряда. Пусть <tex>\varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex> - биекция.
Дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n</tex>. Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)}</tex>. Полученный ряд называется перестановкой ряда <tex>a_n</tex> по правилу <tex>\varphi</tex>.
Числовой ряд - это сумма бесконечного числа слагаемых, и действия нужно производить с оглядкой на этот факт.
Как мы убедимся далее, абсолютно сходящиеся ряды полностью копируют поведение суммы конечного числа слагаемых, а условно сходящиеся - нет.
== Расставление скобок ==
Под "расставлением скобок" в ряде понимают буквально следующее: пусть имеется последовательность
:<tex>n_1 < n_2 < \dots</tex>,
:<tex>\sum a_n = (a_1 + \dots + a_{n_1 - 1}) + (a_{n_1} + \dots + a_{n_2}) + \dots</tex>.
:<tex>b_p = \sum\limits_{k = n_{p - 1}}^{n_p - 1} a_k, \qquad n_0 = 1</tex>
Из построения видно, что частичная сумма ряда <tex>b_p</tex> является некоторой частичной суммой ряда <tex>a_n</tex>. Если исходный ряд сходится, то и ряд с расставленными скобками сходится к той же сумме. Обратное неверно: рассмотрим ряд с расставленными скобками
:<tex>(1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0</tex>
Но ряд без скобок является расходящимся.
Легко установить факт: сходящийся ряд с расставленными скобками, в каждой скобке которого стоят слагаемые одного знака, сходится и без расставленных скобок.
== Перестановка слагаемых ряда ==
Уточним, что понимается под перестановкой слагаемых ряда. Пусть <tex>\varphi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</tex> - биекция.
Дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n</tex>. Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)}</tex>. Полученный ряд называется перестановкой ряда <tex>a_n</tex> по правилу <tex>\varphi</tex>.
