Изменения
→Формула Эйлера
:<tex>H_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac 1k = \ln n + C + \gamma_n, \qquad \gamma_n \rightarrow 0</tex>,
где <tex>C</tex> называется постоянной Эйлера
|proof=
Рассмотрим интеграл
:<tex>\int_{n}^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n + 1) - \ln(n)</tex>
Воспользуемся тем, что <tex>\ln 1 = 0</tex>:
:<tex>\ln n = \ln n - \ln 1 = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} (\ln(k + 1) - \ln k) = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \int_{k}^{k + 1} \frac{dx}{x}</tex>
По монотонности <tex>\frac 1x</tex>: <tex>\int_{k}^{k + 1} \frac{dx}{x} \ge \frac 1{k+1}</tex>
:<tex>H_n - \ln n = \frac 1n + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \left ( \frac 1k - \int_{k}^{k+1} \frac {dx}x \right ) \qquad (*)</tex>
:<tex>\frac 1k - \int_{k}^{k + 1} \frac {dx}x \le \frac 1k - \frac 1{k + 1} = \frac 1{k(k + 1)} \le \frac 1{k^2}</tex>
Итак, ряд <tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} является положительным и мажорируется сходящимся рядом <tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac 1{k^2}</tex>. Значит, этот ряд сходится.
В выражении <tex>(*)</tex> при предельном переходе и получаем искомую формулу, обозначая <tex>C = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left ( \frac 1k - \int_{k}^{k + 1} \frac{dx}{x} \right )</tex>
}}
