19
правок
Изменения
м
Нет описания правки
<tex> G = N \cdot R </tex>, где <tex>N</tex> — фундаментальная матрица, и <tex>R</tex> — матрица перехода из несущественных состояний в существенные.
|proof=
Пусть этот переход будет осуществлён за <tex>r</tex> шагов: <tex>i</tex> → <tex>i_{1}</tex> → <tex>i_{2}</tex> → <tex>\ldots</dots tex> → <tex>i_{r-1}</tex> → j, где все <tex>i, i_{1}, ... \ldots i_{r-1}</tex> являются несущественными.Тогда рассмотрим сумму <tex>\sum\limits_{\forall(i_{1} ... i_{r-1})} {p_{i, i_{1}} \cdot p_{i_{1}, i_{2}} \cdot \dots ldots \cdot p_{i_{r-1}, j}} = Q^{r-1} \cdot R</tex>, где <tex>Q</tex> — матрица переходов между несущественными состояниями, <tex>R</tex> — из несущественного в существенное. Матрица <tex>G</tex> определяется их суммированием по всем длинам пути из i в j: <tex>G = \sum\limits_{r = 1}^{\infty}{Q^{r-1} \cdot R} = (I + Q + Q^{2} + Q^{3} + ...\ldots) \cdot R = NR</tex>, т.к. <tex>(I + Q + Q^2 + ...\ldots) \cdot (I - Q) = I - Q + Q - Q^{2} + ... \ldots = I</tex>, а фундаментальная матрица марковской цепи <tex>N = (I - Q)^{-1}</tex> }}
==Псевдокод==
Выведем ответ: в <tex>\mathtt{i}</tex>-ой строке вероятность поглощения в <tex>\mathtt{i}</tex>-ом состоянии. Естественно, для несущественного состояния это <tex>\mathtt{0}</tex>, в ином случае <tex>\mathtt{p_i=((\sum\limits_{k=1}^{n} G[k][j]+1)/n}</tex> где <tex>\mathtt{j}</tex> - номер соответствующий <tex>\mathtt{i}</tex>-ому состоянию в матрице <tex>\mathtt{G}</tex> (т.е. под которым оно располагалось в матрице <tex> \mathtt{R} </tex> т.е. значение <tex>\mathtt{position[i]}</tex>). Прибавлять <tex>\mathtt{1}</tex> нужно т.к. вероятность поглотиться в <tex>\mathtt{i}</tex>-ом поглощающем состоянии, оказавшись изначально в нем же равна <tex>\mathtt{1}</tex>.
